Dados os complexos z_{1}=r_{1}\left(\cos \left(\theta_{1}\right)+i \operatorname{sen}\left(\theta_{1}\right)\right) e z_{2}=r_{2}\left(\cos \left(\theta_{2}\right)+i \operatorname{sen}\left(\theta_{2}\right)\right) obtenha a seguinte expressão
r=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2 r_{1} r_{2} \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)} para o módulo da soma z=z_{1}+z_{2}.
Calcule as seguintes raízes complexas: \sqrt[3]{-1};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que, dadas
z_{1}=r_{1}\bigl(\cos(\theta_{1})+i\sin(\theta_{1})\bigr), \quad z_{2}=r_{2}\bigl(\cos(\theta_{2})+i\sin(\theta_{2})\bigr),
a soma z=z_{1}+z_{2} tem módulo
r = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2\,r_{1}r_{2}\cos\bigl(\theta_{1}-\theta_{2}\bigr)}.
Em seguida, calcular todas as raízes cúbicas de -1. Vamos usar álgebra elementar de números complexos em forma polar e fórmulas trigonométricas.

Passo 2

Escrevemos z=z_{1}+z_{2} em forma retangular:
z = \bigl(r_{1}\cos\theta_{1} + r_{2}\cos\theta_{2}\bigr) + i\bigl(r_{1}\sin\theta_{1} + r_{2}\sin\theta_{2}\bigr).
O módulo de z é
r = \bigl|z\bigr| = \sqrt{\bigl(r_{1}\cos\theta_{1} + r_{2}\cos\theta_{2}\bigr)^{2} + \bigl(r_{1}\sin\theta_{1} + r_{2}\sin\theta_{2}\bigr)^{2}}.

Passo 3

Expandindo o que está dentro da raiz:
\begin{aligned} \bigl(r_{1}\cos\theta_{1} + r_{2}\cos\theta_{2}\bigr)^{2} +\bigl(r_{1}\sin\theta_{1} + r_{2}\sin\theta_{2}\bigr)^{2} &=r_{1}^{2}(\cos^{2}\theta_{1}+\sin^{2}\theta_{1}) +r_{2}^{2}(\cos^{2}\theta_{2}+\sin^{2}\theta_{2})\\\ &\quad +2\,r_{1}r_{2}\bigl(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\bigr). \end{aligned}
Usando \cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1 e \cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2} =\cos(\theta_{1}-\theta_{2}),
chegamos a
r^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2\,r_{1}r_{2}\cos\bigl(\theta_{1}-\theta_{2}\bigr),
logo
r = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2\,r_{1}r_{2}\cos\bigl(\theta_{1}-\theta_{2}\bigr)}.

Passo 4

Para encontrar as raízes cúbicas de -1, escrevemos -1 em forma polar:
-1 = 1\;\cis(\pi + 2\pi k), \quad k\in\mathbb{Z}.
A fórmula das raízes n-ésimas diz que as soluções de w^{3}=-1 são
w_k = \cis\!\Bigl(\frac{\pi + 2\pi k}{3}\Bigr), \quad k=0,1,2.

Passo 5

Calculando para k=0,1,2:
\begin{aligned} k=0:&\quad w_{0} = \cis\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ k=1:&\quad w_{1} = \cis\!\bigl(\pi\bigr) = -1,\\\ k=2:&\quad w_{2} = \cis\!\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr) = \tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}

Resposta

O módulo da soma é
r = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2\,r_{1}r_{2}\cos\bigl(\theta_{1}-\theta_{2}\bigr)}.
As raízes cúbicas de -1 são
\sqrt[3]{-1} = \bigl\{\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;-1,\;\tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr\}.

Exercícios relacionados