Dados os complexos z_{1}=r_{1}\left(\cos \left(\theta_{1}\right)+i \operatorname{sen}\left(\theta_{1}\right)\right) e z_{2}=r_{2}\left(\cos \left(\theta_{2}\right)+i \operatorname{sen}\left(\theta_{2}\right)\right) obtenha a seguinte expressão r=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2 r_{1} r_{2} \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)} para o módulo da soma z=z_{1}+z_{2}.
Ache as quatro raízes complexas de z^{4}+4=0. Em seguida, usando-as, fatore z^{4}+4 \mathrm{em} dois fatores quadráticos com coeficientes reais e irredutíveis em \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, queremos achar o módulo de
Agrupando r_{1}^{2}(\cos^{2}\theta_{1}+\sin^{2}\theta_{1})=r_{1}^{2} e idem para r_{2}^{2}, e usando \cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}=\cos(\theta_{1}-\theta_{2}), obtemos