Dados os complexos z_{1}=r_{1}\left(\cos \left(\theta_{1}\right)+i \operatorname{sen}\left(\theta_{1}\right)\right) e z_{2}=r_{2}\left(\cos \left(\theta_{2}\right)+i \operatorname{sen}\left(\theta_{2}\right)\right) obtenha a seguinte expressão
r=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2 r_{1} r_{2} \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)} para o módulo da soma z=z_{1}+z_{2}.
Ache as quatro raízes complexas de z^{4}+4=0. Em seguida, usando-as, fatore z^{4}+4 \mathrm{em} dois fatores quadráticos com coeficientes reais e irredutíveis em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, queremos achar o módulo de
z = z_{1} + z_{2},\quad z_{1} = r_{1}\bigl(\cos(\theta_{1}) + i\sin(\theta_{1})\bigr),\; z_{2} = r_{2}\bigl(\cos(\theta_{2}) + i\sin(\theta_{2})\bigr),
e obter
r = \bigl|z\bigr| = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}.
Depois, resolver a equação
z^{4} + 4 = 0
no conjunto dos complexos, listar suas quatro raízes e, com elas, fatorar z^{4}+4 em dois polinômios quadráticos reais e irredutíveis.

Passo 2

Escrevemos
z = z_{1} + z_{2} = \bigl(r_{1}\cos\theta_{1} + r_{2}\cos\theta_{2}\bigr) + i\bigl(r_{1}\sin\theta_{1} + r_{2}\sin\theta_{2}\bigr).
Chamando
X = r_{1}\cos\theta_{1} + r_{2}\cos\theta_{2},\quad Y = r_{1}\sin\theta_{1} + r_{2}\sin\theta_{2},
temos \Re(z)=X e \Im(z)=Y.

Passo 3

O módulo ao quadrado é
r^{2} = |z|^{2} = X^{2} + Y^{2}.
Substituindo e expandindo:
X^{2} + Y^{2} = \bigl(r_{1}\cos\theta_{1}\bigr)^{2} + 2r_{1}r_{2}\cos\theta_{1}\cos\theta_{2} + \bigl(r_{2}\cos\theta_{2}\bigr)^{2} + \bigl(r_{1}\sin\theta_{1}\bigr)^{2} + 2r_{1}r_{2}\sin\theta_{1}\sin\theta_{2} + \bigl(r_{2}\sin\theta_{2}\bigr)^{2}.
Agrupando r_{1}^{2}(\cos^{2}\theta_{1}+\sin^{2}\theta_{1})=r_{1}^{2} e idem para r_{2}^{2}, e usando \cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}=\cos(\theta_{1}-\theta_{2}), obtemos
r^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2}),
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r = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}.

Passo 4

Para resolver z^{4}+4=0, escrevemos
z^{4} = -4 = 4e^{i(\pi + 2k\pi)},\quad k=0,1,2,3.
Assim
z = \sqrt[4]{4}\;e^{i\frac{\pi+2k\pi}{4}} = \sqrt{2}\;e^{i\bigl(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\bigr)}.
Para k=0,1,2,3 as quatro raízes são
z_{0} = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4} = 1 + i,\quad z_{1} = \sqrt{2}\,e^{i3\pi/4} = -1 + i,
z_{2} = \sqrt{2}\,e^{i5\pi/4} = -1 - i,\quad z_{3} = \sqrt{2}\,e^{i7\pi/4} = 1 - i.

Passo 5

Para fatorar em reais, agrupamos conjugados:
(z - z_{0})(z - z_{3}) = (z - (1+i))(z - (1 - i)) = z^{2} - 2z + 2,
(z - z_{1})(z - z_{2}) = (z - (-1+i))(z - (-1 - i)) = z^{2} + 2z + 2.
Portanto
z^{4} + 4 = (z^{2} - 2z + 2)\,(z^{2} + 2z + 2),
e cada fator quadrático é real e sem raízes reais (discriminante negativo).

Resposta

r = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})},
as quatro raízes de z^{4}+4=0 são
1+i,\;-1+i,\;-1-i,\;1-i,
e a fatoração em reais é
z^{4} + 4 = (z^{2} - 2z + 2)\,(z^{2} + 2z + 2).

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