Dados os conjuntos S=\{2, a,\{3\}, 4\} e R=\{\{a\}, 3,4,1\}, indicar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas :
\emptyset \subseteq\{\{a\}\} \subseteq R

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
S = \{2,\,a,\{3\},\,4\}
R = \{\{a\},\,3,\,4,\,1\}
e pede para avaliar as inclusões \emptyset \subseteq \{\{a\}\}
e \{\{a\}\} \subseteq R.
Vamos usar a definição: para quaisquer conjuntos A e B, dizemos que A \subseteq B se, e somente se, todo elemento de A também é elemento de B.

Passo 2

Analisando
\emptyset \subseteq \{\{a\}\},
o conjunto \emptyset não tem elementos. Logo, não há nenhum elemento de \emptyset que possa violar a condição de estar em \{\{a\}\}. Por isso, por vacuidade, vale sempre \emptyset \subseteq X para qualquer conjunto X. Assim,
\emptyset \subseteq \{\{a\}\}
é verdadeira.

Passo 3

Agora, analisamos
\{\{a\}\} \subseteq R.
O conjunto \{\{a\}\} tem exatamente um elemento, que é o conjunto \{a\}. Para verificar a inclusão, basta checar se \{a\} \in R.
Pela definição de R,
R = \{\{a\},\,3,\,4,\,1\},
vemos que \{a\} está mesmo listado como elemento de R. Logo,
\{\{a\}\} \subseteq R
é verdadeira.

Resposta

\emptyset \subseteq \{\{a\}\} — Verdadeira \{\{a\}\} \subseteq R — Verdadeira

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