Dados dois conjuntos não vazios quaisquer A e B, damos o nome de FUNÇÃO a uma relação F de A \times B que satisfaz a seguinte condição:
\forall x \in A \exists!y \in B: \quad(x, y) \in F
Com base neste conceito, considerando A=B=\{1,2,3,4\}, assinale qual das relações abaixo NÃO é uma função de domínio A e contradomínio B :
а) G=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,4)\}
b) H=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)\}
c) I=\{(1,2),(2,2),(3,2),(4,2)\}
d) J=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,3)\}
e) L=\{(1,2),(2,2),(3,4),(4,4)\}

Passo 1

O enunciado define função como uma relação F\subset A\times B tal que, para todo x\in A, existe exatamente um y\in B com (x,y)\in F. Aqui A=B=\{1,2,3,4\}.
Precisamos verificar em cada relação se (i) todo elemento de A aparece como primeira componente e (ii) cada primeira componente aparece apenas uma vez.

Passo 2

Condições para F ser função de domínio A:
  1. Existência: para cada x\in A há pelo menos um par (x,y)\in F.
  2. Unicidade: para cada x\in A há no máximo um par (x,y)\in F.
    Combinar essas duas dá exatamente um par por cada x.

Passo 3

Verificação de G,H,I,L:
  • G=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,4)\}: cada x=1,2,3,4 aparece uma vez.
  • H=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)\}: cada x=1,2,3,4 aparece uma vez.
  • I=\{(1,2),(2,2),(3,2),(4,2)\}: cada x=1,2,3,4 aparece uma vez (mesmo valor imagem pode repetir).
  • L=\{(1,2),(2,2),(3,4),(4,4)\}: cada x=1,2,3,4 aparece uma vez.
    Portanto G,H,I,L satisfazem existência e unicidade e são funções.

Passo 4

Verificação de J: J=\{(1,2),(2,3),(2,4),(4,3)\}.
  • Falta par com primeira componente 3, violando existência para x=3.
  • O elemento 2 aparece em dois pares (2,3) e (2,4), violando unicidade.
    Logo J não é função.

Resposta

d) J

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