Dados a esfera 
  e plano 
 , encontre o ponto 
  para o qual é máxima a distância 
 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação 
  e um plano dado por 
 . Queremos encontrar um ponto 
  que está na esfera que está mais longe desse plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como a fórmula da distância de um ponto a um plano e propriedades de esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da esfera. A equação geral de uma esfera é 
 , onde 
  é o centro e 
  é o raio. Comparando com a equação dada:
Vemos que o centro 
  da esfera é 
  e o raio 
  é 
 .
Passo 3
Agora, precisamos lembrar como calcular a distância de um ponto até um plano. A fórmula para a distância 
  de um ponto 
  até o plano 
  é:
No nosso caso, o plano é 
 . Então, 
 , 
 , 
  e 
 .
Passo 4
Queremos maximizar a distância entre um ponto 
  na esfera e o plano. Geometricamente, o ponto mais distante será aquele que está na direção oposta ao vetor normal do plano a partir do centro da esfera. O vetor normal do plano é o vetor formado pelos coeficientes de 
 , 
  e 
 , ou seja, 
 .
Passo 5
Vamos calcular primeiro a distância do centro da esfera 
  até o plano usando a fórmula mencionada:
Passo 6
Sabemos que o ponto 
  mais distante do plano estará na direção do vetor normal 
  a partir do centro 
 , na mesma linha, mas a uma distância adicional igual ao raio da esfera. Portanto, a distância máxima será:
Passo 7
Para encontrar as coordenadas de 
 , vamos nos mover a partir do centro 
  na direção do vetor normal 
 . Primeiro, normalizamos o vetor normal para obter um vetor unitário 
 :
Passo 8
Multiplicamos o vetor unitário pelo raio para obter o deslocamento a partir do centro:
Passo 9
Finalmente, somamos esse deslocamento ao centro 
  para encontrar as coordenadas do ponto 
 :
Resposta
O ponto 
  na esfera que está a máxima distância do plano é 
 .