Para os dados fornecidos a seguir, conclua pelo teste Duncan e Tukey ( \alpha=5 \% ).
\begin{aligned} & \mathrm{m}_{1}=370 \\\ & \mathrm{m}_{2}=338 \\\ & \mathrm{m}_{3}=380 \\\ & \mathrm{m}_{4}=320 \\\ & \mathrm{m}_{5}=325 \\\ & \mathrm{m}_{6}=367 \\\ & \mathrm{D}_{6}=31 \\\ & \mathrm{D}_{5}=30,2 \\\ & \mathrm{D}_{4}=28,7 \\\ & \mathrm{D}_{3}=26 \\\ & \mathrm{D}_{2}=24,6 \\\ & \Delta=33 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece as médias de seis tratamentos e alguns valores críticos. Vou listar claramente o que foi dado (peguei estes números do enunciado):
  • Médias:
    \mathrm{m}_{1}=370, \mathrm{m}_{2}=338, \mathrm{m}_{3}=380, \mathrm{m}_{4}=320, \mathrm{m}_{5}=325, \mathrm{m}_{6}=367.
  • Valores críticos fornecidos para Duncan (peguei estes valores do enunciado):
    \mathrm{D}_{6}=31, \mathrm{D}_{5}=30{,}2, \mathrm{D}_{4}=28{,}7, \mathrm{D}_{3}=26, \mathrm{D}_{2}=24{,}6.
  • Valor fornecido para Tukey (peguei este valor do enunciado):
    \Delta=33.
O pedido: concluir as comparações entre tratamentos usando o teste de Duncan e o teste de Tukey com nível de significância \alpha=5\%.

Passo 2

Primeiro vou ordenar as médias de forma decrescente — isso facilita ambos os testes (peguei as médias do enunciado):
\begin{aligned} \text{ordenadas: } & \mathrm{m}_{(1)}=\mathrm{m}_3=380,\\\ & \mathrm{m}_{(2)}=\mathrm{m}_1=370,\\\ & \mathrm{m}_{(3)}=\mathrm{m}_6=367,\\\ & \mathrm{m}_{(4)}=\mathrm{m}_2=338,\\\ & \mathrm{m}_{(5)}=\mathrm{m}_5=325,\\\ & \mathrm{m}_{(6)}=\mathrm{m}_4=320. \end{aligned}
Explicando a ideia geral (bem didático e sem pular etapas):
  • No teste de Duncan usamos comparações múltiplas em blocos ordenados: ao comparar duas médias na posição i e j (com i<j, ou seja, i mais alta), definimos o “tamanho do intervalo” \,r=j-i+1. Comparamos a diferença absoluta entre as médias com o crítico \mathrm{D}_r fornecido: se |\mathrm{m}_{(i)}-\mathrm{m}_{(j)}|>\mathrm{D}_r então a diferença é significativa; caso contrário, não é. Os \mathrm{D}_r para cada r foram dados no enunciado.
  • No teste de Tukey (HSD) a decisão entre quaisquer duas médias usa a diferença crítica \Delta (fornecida). Se |\mathrm{m}_a-\mathrm{m}_b|\ge \Delta então a diferença é significativa ao nível \alpha.
Vou aplicar passo a passo estes critérios às médias ordenadas.

Passo 3

Calcular as diferenças entre a maior média \mathrm{m}_{(1)}=380 e as demais e comparar com os \mathrm{D}_r apropriados (lembrando que r=j-i+1).
  • Comparação \mathrm{m}_{(1)} com \mathrm{m}_{(2)}: r=2.
    |\;380-370\;|=10,\qquad \mathrm{D}_2=24{,}6.
    Como 10<24{,}6, a diferença NÃO é significativa segundo Duncan.
  • Comparação \mathrm{m}_{(1)} com \mathrm{m}_{(3)}: r=3.
    |\;380-367\;|=13,\qquad \mathrm{D}_3=26.
    Como 13<26, NÃO é significativa.
  • Comparação \mathrm{m}_{(1)} com \mathrm{m}_{(4)}: r=4.
    |\;380-338\;|=42,\qquad \mathrm{D}_4=28{,}7.
    Como 42>28{,}7, a diferença é significativa.
  • Comparação \mathrm{m}_{(1)} com \mathrm{m}_{(5)}: r=5.
    |\;380-325\;|=55,\qquad \mathrm{D}_5=30{,}2.
    Como 55>30{,}2, significativa.
  • Comparação \mathrm{m}_{(1)} com \mathrm{m}_{(6)}: r=6.
    |\;380-320\;|=60,\qquad \mathrm{D}_6=31.
    Como 60>31, significativa.
Conclusão parcial: \mathrm{m}_{(1)} (380) não difere de 370 nem de 367, mas difere de 338, 325 e 320 segundo Duncan.

Passo 4

Continuar com as comparações envolvendo \mathrm{m}_{(2)}=370 (já comparada com 380 acima; agora comparar com médias abaixo dela):
  • \mathrm{m}_{(2)} com \mathrm{m}_{(3)}: r=2.
    |\;370-367\;|=3,\qquad \mathrm{D}_2=24{,}6,\quad 3<24{,}6\Rightarrow\text{não significativa}.ã
  • \mathrm{m}_{(2)} com \mathrm{m}_{(4)}: r=3.
    |\;370-338\;|=32,\qquad \mathrm{D}_3=26,\quad 32>26\Rightarrow\text{significativa}.
  • \mathrm{m}_{(2)} com \mathrm{m}_{(5)}: r=4.
    |\;370-325\;|=45,\qquad \mathrm{D}_4=28{,}7,\quad 45>28{,}7\Rightarrow\text{significativa}.
  • \mathrm{m}_{(2)} com \mathrm{m}_{(6)}: r=5.
    |\;370-320\;|=50,\qquad \mathrm{D}_5=30{,}2,\quad 50>30{,}2\Rightarrow\text{significativa}.
Conclusão parcial: \mathrm{m}_{(2)} (370) não difere de 367, mas difere de 338, 325 e 320 segundo Duncan.

Passo 5

Comparações envolvendo \mathrm{m}_{(3)}=367 com as médias abaixo dela:
  • \mathrm{m}_{(3)} com \mathrm{m}_{(4)}: r=2.
    |\;367-338\;|=29,\qquad \mathrm{D}_2=24{,}6,\quad 29>24{,}6\Rightarrow\text{significativa}.
  • \mathrm{m}_{(3)} com \mathrm{m}_{(5)}: r=3.
    |\;367-325\;|=42,\qquad \mathrm{D}_3=26,\quad 42>26\Rightarrow\text{significativa}.
  • \mathrm{m}_{(3)} com \mathrm{m}_{(6)}: r=4.
    |\;367-320\;|=47,\qquad \mathrm{D}_4=28{,}7,\quad 47>28{,}7\Rightarrow\text{significativa}.
Conclusão parcial: \mathrm{m}_{(3)} (367) difere de 338, 325 e 320 segundo Duncan.

Passo 6

Comparações entre as médias das posições inferiores (já fiz comparações cruzadas de cima para baixo, mas para completude):
  • \mathrm{m}_{(4)}=338 com \mathrm{m}_{(5)}=325: r=2.
    |\;338-325\;|=13,\qquad \mathrm{D}_2=24{,}6,\quad 13<24{,}6\Rightarrow\text{não significativa}.ã
  • \mathrm{m}_{(4)}=338 com \mathrm{m}_{(6)}=320: r=3.
    |\;338-320\;|=18,\qquad \mathrm{D}_3=26,\quad 18<26\Rightarrow\text{não significativa}.ã
  • \mathrm{m}_{(5)}=325 com \mathrm{m}_{(6)}=320: r=2.
    |\;325-320\;|=5,\qquad \mathrm{D}_2=24{,}6,\quad 5<24{,}6\Rightarrow\text{não significativa}.ã
Conclusão parcial: \mathrm{m}_{(4)},\mathrm{m}_{(5)},\mathrm{m}_{(6)} entre si não diferem segundo Duncan.

Passo 7

Interpretando os resultados de Duncan de forma agrupada (resumo claro):
  • As três maiores médias \{380,\;370,\;367\} (ou seja, \mathrm{m}_3,\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_6) não diferem entre si (todas as diferenças entre essas três são menores que os \mathrm{D}_r correspondentes).
  • Cada uma dessas três (380, 370, 367) difere significativamente de cada uma das três menores \{338,\;325,\;320\} (diferenças maiores que os \mathrm{D}_r).
  • As três menores \{338,\;325,\;320\} (ou seja, \mathrm{m}_2,\mathrm{m}_5,\mathrm{m}_4) não diferem entre si.
Portanto, pelo teste de Duncan obtemos duas classes homogêneas (do ponto de vista das médias): um grupo alto \{ \mathrm{m}_3,\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_6\} e um grupo baixo \{ \mathrm{m}_2,\mathrm{m}_5,\mathrm{m}_4\}.

Passo 8

Agora aplico o teste de Tukey usando o valor crítico fornecido \Delta=33 (peguei este valor do enunciado). A regra prática que vou usar: para qualquer par de médias \mathrm{m}_a,\mathrm{m}_b, se |\mathrm{m}_a-\mathrm{m}_b|\ge\Delta então a diferença é significativa ao nível \alpha=5\%.
Calculo as diferenças relevantes (já parte delas calculadas antes; repito organizadamente):
  • Diferenças envolvendo \mathrm{m}_{(1)}=380:
    \begin{aligned} |\;380-370\;|&=10<33 \Rightarrow\text{não significativa},\\\ |\;380-367\;|&=13<33 \Rightarrow\text{não significativa},\\\ |\;380-338\;|&=42\ge33 \Rightarrow\text{significativa},\\\ |\;380-325\;|&=55\ge33 \Rightarrow\text{significativa},\\\ |\;380-320\;|&=60\ge33 \Rightarrow\text{significativa}. \end{aligned}ãã
  • Diferenças envolvendo \mathrm{m}_{(2)}=370 (com as abaixo, exceto já comparada com 380):
    \begin{aligned} |\;370-367\;|&=3<33 \Rightarrow\text{não significativa},\\\ |\;370-338\;|&=32<33 \Rightarrow\text{não significativa (apenas por 1 unidade)},\\\ |\;370-325\;|&=45\ge33 \Rightarrow\text{significativa},\\\ |\;370-320\;|&=50\ge33 \Rightarrow\text{significativa}. \end{aligned}ãã
  • Diferenças envolvendo \mathrm{m}_{(3)}=367 (com as abaixo):
    \begin{aligned} |\;367-338\;|&=29<33 \Rightarrow\text{não significativa},\\\ |\;367-325\;|&=42\ge33 \Rightarrow\text{significativa},\\\ |\;367-320\;|&=47\ge33 \Rightarrow\text{significativa}. \end{aligned}ã
  • Entre os três menores:
    \begin{aligned} |\;338-325\;|&=13<33 \Rightarrow\text{não significativa},\\\ |\;338-320\;|&=18<33 \Rightarrow\text{não significativa},\\\ |\;325-320\;|&=5<33 \Rightarrow\text{não significativa}. \end{aligned}ããã

Passo 9

Interpretando os resultados de Tukey:
  • Pares com diferença significativa (ou seja, \ge\Delta=33) são:
    \begin{aligned} &(380,338),\\ (380,325),\\ (380,320),\\\ &(370,325),\\ (370,320),\\\ &(367,325),\\ (367,320). \end{aligned}
    Em termos das etiquetas originais:
    (\mathrm{m}_3,\mathrm{m}_2),\;(\mathrm{m}_3,\mathrm{m}_5),\;(\mathrm{m}_3,\mathrm{m}_4),\; (\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_5),\;(\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_4),\; (\mathrm{m}_6,\mathrm{m}_5),\;(\mathrm{m}_6,\mathrm{m}_4).
  • Pares sem diferença significativa (diferença <33) incluem:
    (380,370),\\ (380,367),\\ (370,367),\\ (370,338),\\ (367,338),\\ (338,325),\\ (338,320),\\ (325,320).
Observação didática e prática: o teste de Tukey fornece comparações pareadas claras; no presente caso há uma “sobreposição” nas não significâncias (por exemplo, \mathrm{m}_1=370 não difere de \mathrm{m}_2=338 por 1 unidade abaixo do limiar, mesmo que \mathrm{m}_3=380 difira de \mathrm{m}_2). Isso é normal: a relação “não significativamente diferente” não é transitiva. Por isso, ao apresentar resultados de Tukey costuma-se listar os pares significativos — como fiz acima — em vez de forçar uma partição rígida em dois grupos sem sobreposição.

Resposta

Duncan: grupos homogêneos → \{\mathrm{m}_3=380,\\ \mathrm{m}_1=370,\\ \mathrm{m}_6=367\} e \{\mathrm{m}_2=338,\\ \mathrm{m}_5=325,\\ \mathrm{m}_4=320\}.
Tukey: pares significativamente diferentes ( \Delta=33) →
(\mathrm{m}_3,\mathrm{m}_2),\\ (\mathrm{m}_3,\mathrm{m}_5),\\ (\mathrm{m}_3,\mathrm{m}_4),\\ (\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_5),\\ (\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_4),\\ (\mathrm{m}_6,\mathrm{m}_5),\\ (\mathrm{m}_6,\mathrm{m}_4).

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