Dados históricos indicam que, em média, 6 veículos a cada 30 segundos passam por um determinado cruzamento de uma cidade e que a variável “número de veículos” (Y) se ajusta bem pela distribuição de Poisson. Com base nestas informações:
Qual a probabilidade de observarmos a passagem de 10 carros em um minuto neste cruzamento?

Passo 1

O enunciado diz que o número de veículos Y que passa por um cruzamento segue uma distribuição de Poisson, com média de 6 veículos a cada 30 s. Queremos a probabilidade de observar exatamente 10 veículos em 1 min (60 s).

Passo 2

Como a média em 30 s é \lambda_{30}=6, em 60 s (que é o dobro de tempo) a média escala linearmente. Logo,
\lambda_{60}=2\cdot\lambda_{30}=2\cdot6=12.

Passo 3

A função massa de probabilidade da Poisson é
P(Y=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.
Aqui, k=10 e \lambda=12.

Passo 4

Substituindo, temos
P(Y=10)=\frac{12^{10}e^{-12}}{10!}\,.

Passo 5

Podemos também dar uma aproximação numérica. Sabendo que 10!=3\,628\,800 e usando e^{-12}\approx6,144\times10^{-6}, obtém-se
P(Y=10)\approx0,105.

Resposta

P(Y=10)=\frac{12^{10}e^{-12}}{10!}\approx0,105

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