Dados os pares de funções abaixo (que são soluções de alguma EDO de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes contínuos em toda a reta), encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em :
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve encontrar o Wronskiano de pares de funções e determinar se elas são linearmente independentes ou dependentes no intervalo . Para isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a verificar a independência linear das funções.
Passo 2
Antes de mais nada, o Wronskiano de duas funções e é uma ferramenta que usamos para verificar se essas funções são linearmente independentes. Ele é definido pela seguinte matriz:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Caso contrário, elas são linearmente dependentes.
Vamos aplicar isso a cada par de funções fornecido.
Passo 3
(a) e^-2 t, t e^-2 t
Primeiro, calculamos as derivadas:
f(t) = e^-2t, então f'(t) = -2e^-2t
g(t) = t e^-2t, então usando a regra do produto: g'(t) = e^-2t + t(-2e^-2t) = e^-2t - 2t e^-2t
g(t) = sen t cos t, g'(t) = cos t cdot cos t + sen t cdot (-sen t) = cos^2 t - sen^2 t = cos 2t
W = sen 2t cdot cos 2t - sen t cos t cdot 2cos 2t = sen 2t cos 2t - 2cos 2t sen t cos t , sen 2t = 2 sen t cos t
Wronskiano:
W = (2 sen t cos t) cos 2t - 2cos 2t sen t cos t = 0
Se t, então e^lambda1 t, e^lambda2 t para todo f(t) = e^lambda1 t, logo são linearmente independentes. Se f'(t) = lambda1 e^lambda1 t, o Wronskiano é zero e as funções são linearmente dependentes.
(d) g(t) = e^lambda2 t
Derivadas:
g'(t) = lambda2 e^lambda2 t, W = e^lambda1 t cdot lambda2 e^lambda2 t - e^lambda2 t cdot lambda1 e^lambda1 t = (lambda2 - lambda1) e^(lambda1 + lambda2) t
lambda1 neq lambda2, W neq 0
Wronskiano:
t
Como lambda1 = lambda2 é zero apenas em t^2, 4 t - 3 t^2 e diferente de zero em outros pontos, as funções são linearmente independentes no intervalo f(t) = t^2.