Dados os pares de funções abaixo (que são soluções de alguma EDO de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes contínuos em toda a reta), encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em (-infty, infty) :
ll (a) e^-2 t, t e^-2 t, & (b) sen 2 t, sen t cos t , (c) e^lambda1 t, e^lambda2 t, & (d) t^2, 4 t-3 t^2, (e) t^2+5 t, t^2-5 t, & (f) e^3 x, e^3 x-1

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve encontrar o Wronskiano de pares de funções e determinar se elas são linearmente independentes ou dependentes no intervalo (-infty, infty). Para isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a verificar a independência linear das funções.

Passo 2

Antes de mais nada, o Wronskiano de duas funções f(t) e g(t) é uma ferramenta que usamos para verificar se essas funções são linearmente independentes. Ele é definido pela seguinte matriz:
W(f, g)(t) = f(t) & g(t) f'(t) & g'(t) = f(t)g'(t) - g(t)f'(t)
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Caso contrário, elas são linearmente dependentes.
Vamos aplicar isso a cada par de funções fornecido.

Passo 3

(a) e^-2 t, t e^-2 t
Primeiro, calculamos as derivadas:
  • f(t) = e^-2t, então f'(t) = -2e^-2t
  • g(t) = t e^-2t, então usando a regra do produto:
    g'(t) = e^-2t + t(-2e^-2t) = e^-2t - 2t e^-2t
Agora, o Wronskiano:
W = e^-2t cdot (e^-2t - 2t e^-2t) - t e^-2t cdot (-2e^-2t) = e^-4t - 2t e^-4t + 2t e^-4t = e^-4t
Como e^-4t neq 0 para todo t, as funções são linearmente independentes.
(b)
Calculamos as derivadas:
  • , então sen 2t, sen t cos t
  • , aplicando a regra do produto:
Wronskiano:
Simplificando:
Usamos a identidade :
Como o Wronskiano é zero para todo f(t) = sen 2t, as funções são linearmente dependentes.
© f'(t) = 2cos 2t
Derivadas:
  • g(t) = sen t cos t, g'(t) = cos t cdot cos t + sen t cdot (-sen t) = cos^2 t - sen^2 t = cos 2t
  • W = sen 2t cdot cos 2t - sen t cos t cdot 2cos 2t = sen 2t cos 2t - 2cos 2t sen t cos t , sen 2t = 2 sen t cos t
Wronskiano:
W = (2 sen t cos t) cos 2t - 2cos 2t sen t cos t = 0
Se t, então e^lambda1 t, e^lambda2 t para todo f(t) = e^lambda1 t, logo são linearmente independentes. Se f'(t) = lambda1 e^lambda1 t, o Wronskiano é zero e as funções são linearmente dependentes.
(d) g(t) = e^lambda2 t
Derivadas:
  • g'(t) = lambda2 e^lambda2 t, W = e^lambda1 t cdot lambda2 e^lambda2 t - e^lambda2 t cdot lambda1 e^lambda1 t = (lambda2 - lambda1) e^(lambda1 + lambda2) t
  • lambda1 neq lambda2, W neq 0
Wronskiano:
t
Como lambda1 = lambda2 é zero apenas em t^2, 4 t - 3 t^2 e diferente de zero em outros pontos, as funções são linearmente independentes no intervalo f(t) = t^2.
(e) f'(t) = 2t
Derivadas:
  • g(t) = 4t - 3t^2, g'(t) = 4 - 6t
  • W = t^2 cdot (4 - 6t) - (4t - 3t^2) cdot 2t = 4t^2 - 6t^3 - 8t^2 + 6t^3 = -4t^2 , -4t^2
Wronskiano:
t=0
Como (-infty, infty) para t^2+5 t, t^2-5 t, as funções são linearmente independentes no intervalo f(t) = t^2+5t.
(f) f'(t) = 2t + 5
Aqui, observamos que g(t) = t^2-5t.
Logo, g'(t) = 2t - 5 é um múltiplo constante de W = (t^2+5t)(2t - 5) - (t^2-5t)(2t + 5) = 2t^3 - 5t^2 + 10t^2 - 25t - 2t^3 - 5t^2 + 10t^2 + 25t = (2t^3 - 2t^3) + (-5t^2 + 10t^2 -5t^2 +10t^2) + (-25t +25t) = 10t^2 , ou seja, as funções são linearmente dependentes.

Resposta

(a) W = e^-4t, linearmente independentes.
(b) W = 0, linearmente dependentes.
© W = (lambda2 - lambda1) e^(lambda1 + lambda2) t:
  • Se lambda1 neq lambda2, linearmente independentes.
  • Se lambda1 = lambda2, linearmente dependentes.
(d) W = -4t^2, linearmente independentes.
(e) W = 10t^2, linearmente independentes.
(f) W = 0, linearmente dependentes.

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