Dados os pontos A( -1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C (0,1,3) determinar o vetor x tal que 2x-AB= x + (BC . AB) AC

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente tem os pontos A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3). Precisamos encontrar o vetor x que satisfaz a equação 2x - AB = x + (BC cdot AB) AC. Para isso, vamos precisar saber como calcular vetores entre pontos, o produto escalar (ou ponto) entre vetores e resolver uma equação vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor AB. Para achar o vetor entre dois pontos, a gente subtrai as coordenadas finais pelas iniciais:
AB = B - A = (-4 - (-1), 1 - 0, 1 - 2) = (-3, 1, -1)

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor BC:
BC = C - B = (0 - (-4), 1 - 1, 3 - 1) = (4, 0, 2)

Passo 4

Em seguida, calculamos o vetor AC:
AC = C - A = (0 - (-1), 1 - 0, 3 - 2) = (1, 1, 1)

Passo 5

Agora, vamos fazer o produto escalar BC cdot AB. O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando:
BC cdot AB = (4)(-3) + (0)(1) + (2)(-1) = -12 + 0 - 2 = -14

Passo 6

Com o valor do produto escalar, vamos multiplicar -14 pelo vetor AC:
-14 cdot AC = -14 cdot (1, 1, 1) = (-14, -14, -14)

Passo 7

Agora, vamos montar a equação dada:
2x - AB = x + (-14, -14, -14)
Substituindo AB por (-3, 1, -1):
2x - (-3, 1, -1) = x + (-14, -14, -14)
Simplificando o lado esquerdo:
2x + (3, -1, 1) = x + (-14, -14, -14)

Passo 8

Vamos isolar o vetor x. Subtraindo x de ambos os lados:
2x - x + (3, -1, 1) = (-14, -14, -14)
Isso dá:
x + (3, -1, 1) = (-14, -14, -14)
Agora, subtraindo (3, -1, 1) de ambos os lados:
x = (-14, -14, -14) - (3, -1, 1) = (-17, -13, -15)

Resposta

O vetor x é (-17, -13, -15).

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