Dados os pontos
e
de uma reta
e os pontos
de uma reta
, reversa com
, demonstrar que as três retas que passam por um mesmo ponto
c interceptam os pares de retas
e
e
e
, respectivamente, estão num mesmo plano.
Passo 1
O enunciado dá duas retas reversas em
:
– contendo os pontos
,
e
.
– contendo os pontos
,
e
.
Temos ainda o ponto
,
não pertencente nem a nem a
.
Para cada par de segmentos
–
–
Temos ainda o ponto
não pertencente nem a
Para cada par de segmentos
-
e , -
e , -
e ,
existe uma única reta através deque as intersecta (transversal). Vamos chamar essas retas de .
A tarefa é mostrar queestão contidas num mesmo plano.
Passo 2
Direção de
: é interseção dos planos
e
.
Calculemos vetores auxiliares
,
,
,
.
Normais dos planos:
Calculemos vetores auxiliares
Normais dos planos:
Então o vetor direção de
é
Passo 3
Direção de
: interseção dos planos
e
.
Vetores auxiliares
,
,
,
.
Normais:
Vetores auxiliares
Normais:
Logo
Passo 4
Direção de
: interseção dos planos
e
.
Vetores
,
,
,
.
Normais:
Vetores
Normais:
E então
Passo 5
Observe que
Isso mostra que e
têm a mesma direção e passam ambas por
, logo são a mesma reta.
Como e
(que coincide com
) são duas retas distintas que passam por
, elas determinam um único plano. Portanto
estão contidas nesse mesmo plano.
Isso mostra que
Como
Resposta
As três retas são coplanares.