Dados os pontos \mathbf{A}=(0,1,-1), \mathbf{B}=(1,1,0) e \mathbf{C = ( - 1 , 1 , 2 )} de uma reta \mathbf{r} e os pontos A^{\prime}=(3,-1,4), B^{\prime}=(5,0,1), C^{\prime}=(1,-2,7) de uma reta s, reversa com r, demonstrar que as três retas que passam por um mesmo ponto P=(1,1,1) c interceptam os pares de retas A B^{\prime} e A^{\prime} B, B^{\prime} e B^{\prime} C, C^{\prime} e A^{\prime} C, respectivamente, estão num mesmo plano.

Passo 1

O enunciado dá duas retas reversas em \mathbb{R}^3:
r contendo os pontos
\mathbf{A}=(0,1,-1),
\mathbf{B}=(1,1,0) e
\mathbf{C}=(-1,1,2).
s contendo os pontos
\mathbf{A}'=(3,-1,4),
\mathbf{B}'=(5,0,1) e
\mathbf{C}'=(1,-2,7).
Temos ainda o ponto
\mathbf{P}=(1,1,1),
não pertencente nem a r nem a s.
Para cada par de segmentos
  1. AB' e A'B,
  2. BC' e B'C,
  3. CA' e C'A,
    existe uma única reta através de \mathbf{P} que as intersecta (transversal). Vamos chamar essas retas de \ell_1,\ell_2,\ell_3.
    A tarefa é mostrar que \ell_1,\ell_2,\ell_3 estão contidas num mesmo plano.

Passo 2

Direção de \ell_1: é interseção dos planos \Pi_1=\mathrm{span}\{\mathbf{P},\mathbf{A},\mathbf{B}'\} e \Pi_2=\mathrm{span}\{\mathbf{P},\mathbf{A}',\mathbf{B}\}.
Calculemos vetores auxiliares
\mathbf{u}_1=\mathbf{A}-\mathbf{P}=(-1,0,-2),
\mathbf{v}_1=\mathbf{B}'-\mathbf{P}=(4,-1,0),
\mathbf{u}_2=\mathbf{A}'-\mathbf{P}=(2,-2,3),
\mathbf{v}_2=\mathbf{B}-\mathbf{P}=(0,0,-1).
Normais dos planos:
\mathbf{n}_1=\mathbf{u}_1\times\mathbf{v}_1 =\bigl(-1,0,-2\bigr)\times\bigl(4,-1,0\bigr) =(-2,-8,1),
\mathbf{n}_2=\mathbf{u}_2\times\mathbf{v}_2 =\bigl(2,-2,3\bigr)\times\bigl(0,0,-1\bigr) =(2,2,0).
Então o vetor direção de \ell_1 é
\mathbf{d}_1=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 =(-2,-8,1)\times(2,2,0) =( -2,2,12).

Passo 3

Direção de \ell_2: interseção dos planos \mathrm{span}\{\mathbf{P},\mathbf{B},\mathbf{C}'\} e \mathrm{span}\{\mathbf{P},\mathbf{B}',\mathbf{C}\}.
Vetores auxiliares
\mathbf{u}_3=\mathbf{B}-\mathbf{P}=(0,0,-1),
\mathbf{v}_3=\mathbf{C}'-\mathbf{P}=(0,-3,6),
\mathbf{u}_4=\mathbf{B}'-\mathbf{P}=(4,-1,0),
\mathbf{v}_4=\mathbf{C}-\mathbf{P}=(-2,0,1).
Normais:
\mathbf{n}_3=\mathbf{u}_3\times\mathbf{v}_3 =(0,0,-1)\times(0,-3,6)=(-3,0,0),
\mathbf{n}_4=\mathbf{u}_4\times\mathbf{v}_4 =(4,-1,0)\times(-2,0,1)=(-1,-4,-2).
Logo
\mathbf{d}_2=\mathbf{n}_3\times\mathbf{n}_4 =(-3,0,0)\times(-1,-4,-2) =(0,-6,12).

Passo 4

Direção de \ell_3: interseção dos planos \mathrm{span}\{\mathbf{P},\mathbf{C},\mathbf{A}'\} e \mathrm{span}\{\mathbf{P},\mathbf{C}',\mathbf{A}\}.
Vetores
\mathbf{u}_5=\mathbf{C}-\mathbf{P}=(-2,0,1),
\mathbf{v}_5=\mathbf{A}'-\mathbf{P}=(2,-2,3),
\mathbf{u}_6=\mathbf{C}'-\mathbf{P}=(0,-3,6),
\mathbf{v}_6=\mathbf{A}-\mathbf{P}=(-1,0,-2).
Normais:
\mathbf{n}_5=\mathbf{u}_5\times\mathbf{v}_5 =(-2,0,1)\times(2,-2,3)=(2,8,4),
\mathbf{n}_6=\mathbf{u}_6\times\mathbf{v}_6 =(0,-3,6)\times(-1,0,-2)=(6,-6,-3).
E então
\mathbf{d}_3=\mathbf{n}_5\times\mathbf{n}_6 =(2,8,4)\times(6,-6,-3) =(0,30,-60).

Passo 5

Observe que
\mathbf{d}_3=(0,30,-60)=-5\,(0,-6,12)=-5\,\mathbf{d}_2.
Isso mostra que \ell_2 e \ell_3 têm a mesma direção e passam ambas por \mathbf{P}, logo são a mesma reta.
Como \ell_1 e \ell_2 (que coincide com \ell_3) são duas retas distintas que passam por \mathbf{P}, elas determinam um único plano. Portanto \ell_1,\ell_2,\ell_3 estão contidas nesse mesmo plano.

Resposta

As três retas são coplanares.

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