Dados postados no site do FBI (www.fbi.gov) declararam que de todos os negros mortos em 2005, 91 % foram mortos por negros, e de todos os brancos mortos em 2005, 83 % foram mortos por brancos. Seja Y a raça da vítima e X a raça do assassino.
a. A qual distribuição condicional essas estatísticas se referem, Y dado X , ou X dado Y ?
b. Calcule e interprete a razão de chances entre X e Y .
c. Dado que um assassino era branco, você pode estimar a probabilidade de que a vítima fosse branca? Quais informações adicionais você precisaria para fazer isso? (Dica: como você poderia usar o Teorema de Bayes?)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem dados do FBI sobre homicídios em 2005, especificando as porcentagens de vítimas negras e brancas que foram mortas por assassinos da mesma raça. O conteúdo que vamos usar aqui é probabilidade condicional e razão de chances. Precisamos entender como relacionar as probabilidades das vítimas e dos assassinos serem de determinadas raças.

Passo 2

Parte a: A questão pergunta a qual distribuição condicional as estatísticas se referem, se é dado ou dado .
Aqui, representa a raça da vítima e a raça do assassino. As estatísticas nos dizem, por exemplo, que 91% das vítimas negras foram mortas por negros. Isso é a probabilidade da vítima ser negra dado que o assassino é negro, ou seja, . Portanto, estamos lidando com a distribuição condicional de dado .

Passo 3

Parte b: Agora, vamos calcular a razão de chances entre Razão de Chances = P(Y mid X) / P(não Y mid X)P(Y mid não X) / P(não Y mid não X) e Razão de Chances = 0,91 / 0,090,83 / 0,17 = 10,114,88 approx 2,07 .
A razão de chances (odds ratio) mede a associação entre duas variáveis. A fórmula é:
ããããã
Para simplificar, vamos considerar as porcentagens fornecidas:
  • Para negros:
  • Para brancos:
Vamos calcular:
ã
Isso significa que a chance de uma vítima ser da mesma raça do assassino é aproximadamente 2,07 vezes maior do que de ser de outra raça.

Passo 4

Parte c: Queremos estimar a probabilidade de que a vítima fosse branca dado que o assassino era branco. Para isso, podemos usar o Teorema de Bayes.
O Teorema de Bayes é:
P(Y mid X) = P(X mid Y) cdot P(Y)P(X)
Aqui, é a probabilidade que queremos. Porém, precisamos de informações adicionais, como a proporção geral de homicídios por raça (ou seja, e ) e , a probabilidade de o assassino ser branco.
Sem esses dados, não conseguimos calcular exatamente a probabilidade. Então, precisaríamos saber, por exemplo, quantos assassinos eram brancos no total para aplicar o Teorema de Bayes corretamente.

Resposta

a. As estatísticas referem-se à distribuição condicional dado .
b. A razão de chances entre e é aproximadamente 2,07.
c. Não é possível estimar a probabilidade sem informações adicionais, como a proporção geral de assassinos brancos e a distribuição total das vítimas. Precisaríamos desses dados para aplicar o Teorema de Bayes.

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