Dados os seguintes números complexos:
;
; calcule (evite usar calculadora):
em suas formas polares
Passo 1
O enunciado dá dois números complexos na forma retangular e pede que sejam escritos em forma polar (módulo e argumento):
- Dados:
e . - Pedido: escrever
e em suas formas polares.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para
o coeficiente real é e o coeficiente imaginário é . - A forma polar de um complexo é
, onde é o módulo e é o argumento (ângulo).
Passo 2
Fórmulas essenciais (explicadas de forma simples):
- Módulo: para
,
Explicação: pense no ponto
no plano — o módulo é a distância desse ponto à origem, dada pelo teorema de Pitágoras.
- Argumento: uma forma útil é
mas atenção: essa expressão dá o ângulo correto apenas até ambiguidade de quadrante; é preciso checar os sinais de
e
para ajustar
ao quadrante certo. Em palavras: se
use
; se
some ou subtraia
conforme o sinal de
; se
trate o caso separadamente.
Passo 3
Aplicando ao
:
- Identificar
e . - Calcular o módulo:
Mostre mentalmente:
não é quadrado perfeito, então fica
(forma exata).
- Calcular o argumento pela fórmula básica:
Verificação de quadrante: aqui
e
, então o ponto está no primeiro quadrante e não é necessário ajustar o ângulo —
já dá o ângulo correto em primeiro quadrante.
Passo 4
Interpretação prática (como apresentar na prova sem calculadora):
- Pode deixar o argumento em forma exata usando
. Assim uma resposta perfeitamente válida é
- Se for permitido fornecer aproximação numérica (com calculadora ou tabela), tem-se aproximadamente
Mas a forma exata com
e
é o que se consegue sem calculadora.
Passo 5
Aplicando ao
:
- Identificar
e . - Calcular o módulo:
- Calcular o argumento pela fórmula básica:
Verificação de quadrante: aqui
e
, o ponto está no quarto quadrante; a fórmula
já dá o ângulo correto (ângulo negativo medido a partir do eixo positivo real).
Passo 6
Interpretação prática para
:
- Forma exata (sem usar calculadora):
- Aproximação numérica, caso queira conferir com calculadora: