Dados os seguintes números complexos: Z_{1}=2+j 3 ; Z_{2}=5-j 4 ; Z_{3}=5 \angle 37^{\circ}; Z_{4}=6 \angle-15^{\circ}; calcule (evite usar calculadora):
Z_{1} e Z_{2} em suas formas polares

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos na forma retangular e pede que sejam escritos em forma polar (módulo e argumento):
  • Dados: Z_{1}=2+j\,3 e Z_{2}=5-j\,4.
  • Pedido: escrever Z_{1} e Z_{2} em suas formas polares.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para Z=a+j b o coeficiente real é a e o coeficiente imaginário é b.
  • A forma polar de um complexo é |Z|\angle \theta, onde |Z| é o módulo e \theta é o argumento (ângulo).

Passo 2

Fórmulas essenciais (explicadas de forma simples):
  • Módulo: para Z=a+j b,
|Z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Explicação: pense no ponto (a,b) no plano — o módulo é a distância desse ponto à origem, dada pelo teorema de Pitágoras.
  • Argumento: uma forma útil é
\theta=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right),
mas atenção: essa expressão dá o ângulo correto apenas até ambiguidade de quadrante; é preciso checar os sinais de a e b para ajustar \theta ao quadrante certo. Em palavras: se a>0 use \arctan(b/a); se a<0 some ou subtraia 180^\circ conforme o sinal de b; se a=0 trate o caso separadamente.

Passo 3

Aplicando ao Z_{1}=2+j\,3:
  • Identificar a=2 e b=3.
  • Calcular o módulo:
|Z_{1}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Mostre mentalmente: 13 não é quadrado perfeito, então fica \sqrt{13} (forma exata).
  • Calcular o argumento pela fórmula básica:
\theta_{1}=\arctan\!\left(\frac{3}{2}\right).
Verificação de quadrante: aqui a=2>0 e b=3>0, então o ponto está no primeiro quadrante e não é necessário ajustar o ângulo — \arctan(3/2) já dá o ângulo correto em primeiro quadrante.

Passo 4

Interpretação prática (como apresentar na prova sem calculadora):
  • Pode deixar o argumento em forma exata usando \arctan. Assim uma resposta perfeitamente válida é
Z_{1}= \sqrt{13}\,\angle\arctan\!\left(\frac{3}{2}\right).
  • Se for permitido fornecer aproximação numérica (com calculadora ou tabela), tem-se aproximadamente
|Z_{1}|\approx 3,606,\qquad \theta_{1}\approx 56,31^\circ.
Mas a forma exata com \sqrt{13} e \arctan(3/2) é o que se consegue sem calculadora.

Passo 5

Aplicando ao Z_{2}=5-j\,4:
  • Identificar a=5 e b=-4.
  • Calcular o módulo:
|Z_{2}|=\sqrt{5^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}.
  • Calcular o argumento pela fórmula básica:
\theta_{2}=\arctan\!\left(\frac{-4}{5}\right)=-\arctan\!\left(\frac{4}{5}\right).
Verificação de quadrante: aqui a=5>0 e b=-4<0, o ponto está no quarto quadrante; a fórmula -\arctan(4/5) já dá o ângulo correto (ângulo negativo medido a partir do eixo positivo real).

Passo 6

Interpretação prática para Z_{2}:
  • Forma exata (sem usar calculadora):
Z_{2}=\sqrt{41}\,\angle\bigl(-\arctan\!\left(\tfrac{4}{5}\right)\bigr).
  • Aproximação numérica, caso queira conferir com calculadora:
|Z_{2}|\approx 6,403,\qquad \theta_{2}\approx -38,66^\circ.

Resposta

Z_{1}=\sqrt{13}\,\angle\arctan\!\left(\dfrac{3}{2}\right)\approx 3,606\angle 56,31^\circ
Z_{2}=\sqrt{41}\,\angle\bigl(-\arctan\!\left(\dfrac{4}{5}\right)\bigr)\approx 6,403\angle -38,66^\circ

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