Dados os sistemas lineares
I) [ccc 3 & 0 & 4 7 & 4 & 2 -1 & 1 & 2 ][l x y z ]=[l -1 -3 -1 ], I I)[ccc 7 & 6 & 9 4 & 5 & -4 -7 & -3 & 8 ][l x y z ]=[c -1 7 -19 ]
Resolva cada sistema usando os seguintes métodos, descrevendo o passo a passo na sua solução:

método de Jacobi

Passo 1

Vamos resolver os dois sistemas lineares usando o método de Jacobi. O método de Jacobi é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas de equações lineares. Para isso, precisamos reescrever cada equação de forma que uma variável seja isolada em função das outras. Vamos precisar definir um valor inicial para cada variável e repetir o processo até que os valores convirjam para uma solução estável.

Passo 2

Sistema I:
3x + 0y + 4z = -1 7x + 4y + 2z = -3 -1x + 1y + 2z = -1
Primeiro, vamos isolar cada variável:
x = -1 - 4z3 y = -3 - 7x - 2z4 z = -1 + x - y2

Passo 3

Escolhemos valores iniciais para as variáveis. Vamos começar com:
x^(0) = 0, y^(0) = 0, z^(0) = 0

Passo 4

Primeira iteração:
x^(1) = -1 - 4(0)3 = -13 approx -0.333
y^(1) = -3 - 7(0) - 2(0)4 = -34 = -0.75
z^(1) = -1 + 0 - 02 = -12 = -0.5

Passo 5

Segunda iteração:
x^(2) = -1 - 4(-0.5)3 = -1 + 23 = 13 approx 0.333
y^(2) = -3 - 7(-0.333) - 2(-0.5)4 = -3 + 2.333 + 14 = 0.3334 approx 0.083
z^(2) = -1 + (-0.333) - (-0.75)2 = -1 -0.333 +0.752 = -0.5832 approx -0.292

Passo 6

Terceira iteração:
x^(3) = -1 - 4(-0.292)3 = -1 + 1.1683 = 0.1683 approx 0.056
y^(3) = -3 - 7(0.333) - 2(-0.292)4 = -3 -2.333 +0.5834 = -4.754 = -1.187
z^(3) = -1 +0.333 - (-1.187)2 = -1 +0.333 +1.1872 = 0.5202 = 0.260

Passo 7

Após algumas iterações, os valores começam a se estabilizar. Para este exemplo, após três iterações, as aproximações são:
x approx 0.056, y approx -1.187, z approx 0.260

Passo 8

Sistema II:
7x + 6y + 9z = -1 4x + 5y -4z = 7 -7x -3y +8z = -19
Vamos isolar cada variável:
x = -1 -6y -9z7 y = 7 -4x +4z5 z = -19 +7x +3y8

Passo 9

Escolhemos valores iniciais para as variáveis. Vamos iniciar com:
x^(0) = 0, y^(0) = 0, z^(0) = 0

Passo 10

Primeira iteração:
x^(1) = -1 -6(0) -9(0)7 = -17 approx -0.143
y^(1) = 7 -4(0) +4(0)5 = 75 = 1.4
z^(1) = -19 +7(0) +3(0)8 = -198 approx -2.375

Passo 11

Segunda iteração:
x^(2) = -1 -6(1.4) -9(-2.375)7 = -1 -8.4 +21.3757 = 11.9757 approx 1.711
y^(2) = 7 -4(-0.143) +4(-2.375)5 = 7 +0.572 -9.55 = -1.9285 approx -0.386
z^(2) = -19 +7(-0.143) +3(1.4)8 = -19 -1 +4.28 = -15.88 approx -1.975

Passo 12

Terceira iteração:
x^(3) = -1 -6(-0.386) -9(-1.975)7 = -1 +2.316 +17.7757 = 19.0917 approx 2.727
y^(3) = 7 -4(1.711) +4(-1.975)5 = 7 -6.844 -7.95 = -7.7445 approx -1.549
z^(3) = -19 +7(1.711) +3(-0.386)8 = -19 +12 -1.1588 = -8.1588 approx -1.020

Passo 13

Após algumas iterações, os valores começam a se estabilizar. Para este exemplo, após três iterações, as aproximações são:
x approx 2.727, y approx -1.549, z approx -1.020

Resposta

Sistema I:
x approx 0.056, y approx -1.187, z approx 0.260
Sistema II:
x approx 2.727, y approx -1.549, z approx -1.020

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