Dados \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(2,1,3), determine um vetor \vec{w} de tal forma que \vec{u}-\vec{w} seja paralelo a \vec{v} e \vec{w} seja perpendicular a \vec{v}.
Dica: Observe que \operatorname{Proj}_{v} u é paralelo a v e v-\operatorname{Proj}_{v} u é perpendicular a v.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
\vec{u}=(1,2,3).
\vec{v}=(2,1,3).
O que se pede:
Determinar um vetor \vec{w} tal que \vec{u}-\vec{w} seja paralelo a \vec{v} e \vec{w} seja perpendicular a \vec{v}.
Passo 2
Ideia principal (sem contas ainda): qualquer vetor \vec{u} pode ser decomposto em duas partes relativas a um vetor \vec{v}: uma parte paralela a \vec{v} e uma parte perpendicular a \vec{v}. Escrever
\vec{u}=\underbrace{\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u}}_{\text{paralela a }\vec{v}}+\underbrace{\bigl(\vec{u}-\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u}\bigr)}_{\text{perpendicular a }\vec{v}}.
Seja \operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u} a projeção de \vec{u} sobre \vec{v}. Então \operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u} é paralelo a \vec{v} e \vec{u}-\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u} é perpendicular a \vec{v}. Assim, para satisfazer as condições do problema basta escolher
Mostrar que \vec{u}-\vec{w} é paralelo a \vec{v}: como \vec{u}-\vec{w}=\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\dfrac{13}{14}\vec{v}, é claramente um múltiplo escalar de \vec{v}, portanto é paralelo.