Dados \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(2,1,3), determine um vetor \vec{w} de tal forma que \vec{u}-\vec{w} seja paralelo a \vec{v} e \vec{w} seja perpendicular a \vec{v}.
Dica: Observe que \operatorname{Proj}_{v} u é paralelo a v e v-\operatorname{Proj}_{v} u é perpendicular a v.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \vec{u}=(1,2,3).
  • \vec{v}=(2,1,3).
    O que se pede:
  • Determinar um vetor \vec{w} tal que \vec{u}-\vec{w} seja paralelo a \vec{v} e \vec{w} seja perpendicular a \vec{v}.

Passo 2

Ideia principal (sem contas ainda): qualquer vetor \vec{u} pode ser decomposto em duas partes relativas a um vetor \vec{v}: uma parte paralela a \vec{v} e uma parte perpendicular a \vec{v}. Escrever
\vec{u}=\underbrace{\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u}}_{\text{paralela a }\vec{v}}+\underbrace{\bigl(\vec{u}-\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u}\bigr)}_{\text{perpendicular a }\vec{v}}.
Seja \operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u} a projeção de \vec{u} sobre \vec{v}. Então \operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u} é paralelo a \vec{v} e \vec{u}-\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u} é perpendicular a \vec{v}. Assim, para satisfazer as condições do problema basta escolher
\vec{w}=\vec{u}-\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u},
pois então \vec{w} será perpendicular a \vec{v} e \vec{u}-\vec{w}=\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u} será paralelo a \vec{v}.

Passo 3

Agora a fórmula da projeção: para vetores em \mathbb{R}^3,
\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\,\vec{v},
onde \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar. Vamos calcular \vec{u}\cdot\vec{v} e \vec{v}\cdot\vec{v}.
Calculemos \vec{u}\cdot\vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot2+2\cdot1+3\cdot3=2+2+9=13.
Calculemos \vec{v}\cdot\vec{v}:
\vec{v}\cdot\vec{v}=2^2+1^2+3^2=4+1+9=14.

Passo 4

Com os resultados anteriores, o fator escalar da projeção é
\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\frac{13}{14}.
Logo
\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{13}{14}\,\vec{v}=\frac{13}{14}(2,1,3).
Escrevendo os componentes:
\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\left(\frac{26}{14},\frac{13}{14},\frac{39}{14}\right)=\left(\frac{13}{7},\frac{13}{14},\frac{39}{14}\right).

Passo 5

Agora calculamos \vec{w}=\vec{u}-\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u}. Subtraindo componente a componente:
\vec{w}=(1,2,3)-\left(\frac{13}{7},\frac{13}{14},\frac{39}{14}\right).
Calcule cada componente com cuidado (colocando denominador 14 onde for conveniente):
1-\frac{13}{7}= \frac{14}{14}-\frac{26}{14}=-\frac{12}{14}=-\frac{6}{7},
2-\frac{13}{14}= \frac{28}{14}-\frac{13}{14}=\frac{15}{14},
3-\frac{39}{14}= \frac{42}{14}-\frac{39}{14}=\frac{3}{14}.
Portanto
\vec{w}=\left(-\frac{6}{7},\frac{15}{14},\frac{3}{14}\right).

Passo 6

Verificação rápida (para você ficar confiante):
  • Mostrar que \vec{w} é perpendicular a \vec{v}: calcular \vec{w}\cdot\vec{v}.
\vec{w}\cdot\vec{v}=-\frac{6}{7}\cdot2+\frac{15}{14}\cdot1+\frac{3}{14}\cdot3 =-\frac{12}{7}+\frac{15}{14}+\frac{9}{14}=-\frac{24}{14}+\frac{24}{14}=0.
Logo \vec{w}\perp\vec{v}.
  • Mostrar que \vec{u}-\vec{w} é paralelo a \vec{v}: como \vec{u}-\vec{w}=\operatorname{Proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\dfrac{13}{14}\vec{v}, é claramente um múltiplo escalar de \vec{v}, portanto é paralelo.
Tudo confere.

Resposta

\vec{w}=\left(-\dfrac{6}{7},\dfrac{15}{14},\dfrac{3}{14}\right)