Dados os vetores
e
:
encontrar escalares
,
e
, tais que
.
encontrar escalares
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores:
Queremos encontrar os escalares
,
e
de forma que:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinações lineares e montar um sistema de equações.
Passo 2
Vamos escrever a combinação linear em termos das componentes de cada vetor:
Isso nos dá três equações correspondentes a cada componente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Passo 3
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Começamos resolvendo a terceira equação para
-a + b = -5 :
Isolando
:
Passo 5
Substituímos
2a + (a - 5) - 3c = -2 nas duas primeiras equações:
-
Primeira equação:
3a - 5 - 3c = -2 implies 3a - 3c = 3 implies a - c = 1 Simplificando:3a - (a - 5) + 4c = 13 -
Segunda equação:
2a + 5 + 4c = 13 implies 2a + 4c = 8 implies a + 2c = 4 Simplificando:
Passo 6
Agora temos um sistema reduzido com duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraímos a primeira equação da segunda:
Passo 7
Com
a - 1 = 1 implies a = 2 , usamos a primeira equação para encontrar
:
Passo 8
Agora, com
b = 2 - 5 = -3 , encontramos
usando
:
Resposta
Os escalares são
,
e
.