Dados vetores \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} e constantes a, b \in \mathbb{R}, mostre que:
(h) (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot(\mathbf{w} \times \mathbf{x})=(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})(\mathbf{v} \cdot \mathbf{x})-(\mathbf{u} \cdot \mathbf{x})(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})

Passo 1

O enunciado nos dá vetores \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} e pede para mostrar a identidade
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{x})=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{x})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}).
Lista de informações relevantes fornecidas:
  • As quatro incógnitas são vetores em \mathbb{R}^{3}.
  • A operação \times é o produto vetorial em \mathbb{R}^{3}.
  • A operação \cdot é o produto escalar em \mathbb{R}^{3}.
    O que precisamos mostrar: provar a igualdade acima para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{x}.

Passo 2

Definições e notação que vou usar (explicadas com calma).
  • Produto escalar: para vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^{3} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Aqui a_i e b_i são as componentes dos vetores.
  • Produto vetorial: a componente i-ésima de \mathbf{a}\times\mathbf{b} pode ser escrita usando o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk}:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})_i=\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\, a_j b_k.
Explicando \varepsilon_{ijk}: é igual a +1 se (i,j,k) for uma permutação par de (1,2,3), igual a -1 se for permutação ímpar, e 0 se algum índice se repetir.
  • Delta de Kronecker: \delta_{ij} vale 1 se i=j e 0 caso contrário. É útil para “selecionar” componentes nas somas.
    Vou usar também uma identidade padrão envolvendo \varepsilon e \delta (contracção de dois epsilons). Essa identidade é:
\sum_{i=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ipq}=\delta_{jp}\delta_{kq}-\delta_{jq}\delta_{kp}.
Breve justificativa da identidade: ela é uma propriedade algébrica do símbolo \varepsilon que expressa o produto escalar entre vetores formados por produtos cruzados de vetores base — pode ser verificada caso a caso pelas definições de \varepsilon ou vista como consequência da expansão de determinantes; é uma ferramenta padrão em provas por componentes.

Passo 3

Expressar o lado esquerdo da identidade em componentes e aplicar a definição do produto vetorial e do produto escalar.
Começamos com
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{x}) =\sum_{i=1}^{3} (\mathbf{u}\times\mathbf{v})_i \; (\mathbf{w}\times\mathbf{x})_i.
Usando a expressão componente do produto vetorial:
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{x}) =\sum_{i=1}^{3}\left(\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}\varepsilon_{ijk} u_j v_k\right) \left(\sum_{p=1}^{3}\sum_{q=1}^{3}\varepsilon_{ipq} w_p x_q\right).

Passo 4

Reorganizar as somas (tudo é finito, então podemos permutar somatórios) e aplicar a identidade de contração \varepsilon\varepsilon.
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{x}) =\sum_{i,j,k,p,q}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ipq}\; u_j v_k w_p x_q.
Agora aplicando
\sum_{i=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ipq}=\delta_{jp}\delta_{kq}-\delta_{jq}\delta_{kp},
obtemos
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{x}) =\sum_{j,k,p,q}\big(\delta_{jp}\delta_{kq}-\delta_{jq}\delta_{kp}\big)\; u_j v_k w_p x_q.

Passo 5

Simplificar usando as propriedades do delta de Kronecker (ele “identifica” índices nas somas).
Primeiro termo:
\sum_{j,k,p,q}\delta_{jp}\delta_{kq}\; u_j v_k w_p x_q =\sum_{j,k} u_j v_k w_j x_k =(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x}).
Segundo termo:
\sum_{j,k,p,q}\delta_{jq}\delta_{kp}\; u_j v_k w_p x_q =\sum_{j,k} u_j v_k w_k x_j =(\mathbf{u}\cdot\mathbf{x})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}).
Subtraindo segundo termo do primeiro, concluímos:
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{x}) =(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{x})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}).

Passo 6

Comentário didático curto (para fixar a intuição):
  • A identidade mostra que o escalar (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{x}) depende só de produtos escalares entre \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{x}. Geometricamente, é uma forma algébrica que aparece ao comparar áreas orientadas (de pares de vetores) ou ao expandir determinantes envolvendo essas quatro direções.
  • Outra maneira (mais geométrica) de ver a identidade é usar a identidade do produto vetorial em triplo produto: \mathbf{b}\times(\mathbf{c}\times\mathbf{d})=\mathbf{c}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d})-\mathbf{d}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}) e as propriedades cíclicas do produto misto; isso leva ao mesmo resultado com menos álgebra de componentes.

Resposta

(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{x})=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{x})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})