Dados vetores
e constantes
, mostre que:
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado nos dá vetores
e pede para mostrar a identidade
Lista de informações relevantes fornecidas:
- As quatro incógnitas são vetores em
. - A operação
é o produto vetorial em . - A operação
é o produto escalar em .
O que precisamos mostrar: provar a igualdade acima para quaisquer vetores.
Passo 2
Definições e notação que vou usar (explicadas com calma).
- Produto escalar: para vetores
e ,
Aqui
e
são as componentes dos vetores.
- Produto vetorial: a componente
-ésima de pode ser escrita usando o símbolo de Levi-Civita :
Explicando
: é igual a
se
for uma permutação par de
, igual a
se for permutação ímpar, e
se algum índice se repetir.
- Delta de Kronecker:
vale se e caso contrário. É útil para “selecionar” componentes nas somas.
Vou usar também uma identidade padrão envolvendoe (contracção de dois epsilons). Essa identidade é:
Breve justificativa da identidade: ela é uma propriedade algébrica do símbolo
que expressa o produto escalar entre vetores formados por produtos cruzados de vetores base — pode ser verificada caso a caso pelas definições de
ou vista como consequência da expansão de determinantes; é uma ferramenta padrão em provas por componentes.
Passo 3
Expressar o lado esquerdo da identidade em componentes e aplicar a definição do produto vetorial e do produto escalar.
Começamos com
Começamos com
Usando a expressão componente do produto vetorial:
Passo 4
Reorganizar as somas (tudo é finito, então podemos permutar somatórios) e aplicar a identidade de contração
.
Agora aplicando
obtemos
Passo 5
Simplificar usando as propriedades do delta de Kronecker (ele “identifica” índices nas somas).
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Subtraindo segundo termo do primeiro, concluímos:
Passo 6
Comentário didático curto (para fixar a intuição):
- A identidade mostra que o escalar
depende só de produtos escalares entre . Geometricamente, é uma forma algébrica que aparece ao comparar áreas orientadas (de pares de vetores) ou ao expandir determinantes envolvendo essas quatro direções. - Outra maneira (mais geométrica) de ver a identidade é usar a identidade do produto vetorial em triplo produto:
e as propriedades cíclicas do produto misto; isso leva ao mesmo resultado com menos álgebra de componentes.