Dados os vetores \vec{a}=(1,0,-2), \vec{b}=(3,1,1) e \vec{c}=(0,-1,2). Calcule:
Um vetor \vec{d} que seja ortogonal a \vec{a} e \vec{b} simultaneamente.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{a}=(1,0,-2), \vec{b}=(3,1,1) e \vec{c}=(0,-1,2).
A pergunta é: encontrar um vetor \vec{d} que seja ortogonal a \vec{a} e a \vec{b} simultaneamente.
Informações relevantes do enunciado:
Foram fornecidas as coordenadas de \vec{a} e \vec{b}.
Precisa-se apenas de um vetor \vec{d} (não necessariamente único) que satisfaça a ortogonalidade com ambos.
Passo 2
O que significa "ortogonal a \vec{a} e \vec{b}"?
Significa que \vec{d} deve satisfazer as duas equações (produto escalar igual a zero):
Se escrevemos \vec{d}=(x,y,z), essas equações ficam:
x\cdot1 + y\cdot0 + z\cdot(-2)=0
x\cdot3 + y\cdot1 + z\cdot1=0.
Ou seja,
x - 2z = 0
3x + y + z = 0.
Essas são duas equações lineares em três incógnitas, então há infinitas soluções (uma família). Basta encontrar uma solução particular para obter um \vec{d} válido.
Passo 3
Método prático (e o mais usado em \mathbb{R}^3): o produto vetorial (vetor normal) \vec{a}\times\vec{b} gera um vetor ortogonal a ambos \vec{a} e \vec{b}. Vou usar essa fórmula porque é direta e evita resolver o sistema manualmente.
Lembrete do cálculo do produto vetorial por determinante:
onde \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários em x,y,z e a_1,a_2,a_3 são as componentes de \vec{a}, idem para \vec{b}. O resultado é o vetor cujas componentes são dadas por escrever a expansão dessa determinante.
Passo 4
Aplicando ao caso \vec{a}=(1,0,-2) e \vec{b}=(3,1,1):
Ambos nulos, logo (2,-7,1) é ortogonal a \vec{a} e a \vec{b}.
Observação didática final: qualquer múltiplo escalar t(2,-7,1), com t\neq0, também é ortogonal a \vec{a} e \vec{b}. Então a solução geral da família de vetores ortogonais é \{\,t(2,-7,1)\mid t\in\mathbb{R}\,\}.