Dados os vetores \vec{a}=(1,0,-2), \vec{b}=(3,1,1) e \vec{c}=(0,-1,2). Calcule:
Um vetor \vec{d} que seja ortogonal a \vec{a} e \vec{b} simultaneamente.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{a}=(1,0,-2), \vec{b}=(3,1,1) e \vec{c}=(0,-1,2).
A pergunta é: encontrar um vetor \vec{d} que seja ortogonal a \vec{a} e a \vec{b} simultaneamente.
Informações relevantes do enunciado:
  • Foram fornecidas as coordenadas de \vec{a} e \vec{b}.
  • Precisa-se apenas de um vetor \vec{d} (não necessariamente único) que satisfaça a ortogonalidade com ambos.

Passo 2

O que significa "ortogonal a \vec{a} e \vec{b}"?
Significa que \vec{d} deve satisfazer as duas equações (produto escalar igual a zero):
\vec{d}\cdot\vec{a}=0 \qquad\text{e}\qquad \vec{d}\cdot\vec{b}=0.
Se escrevemos \vec{d}=(x,y,z), essas equações ficam:
x\cdot1 + y\cdot0 + z\cdot(-2)=0
x\cdot3 + y\cdot1 + z\cdot1=0.
Ou seja,
x - 2z = 0
3x + y + z = 0.
Essas são duas equações lineares em três incógnitas, então há infinitas soluções (uma família). Basta encontrar uma solução particular para obter um \vec{d} válido.

Passo 3

Método prático (e o mais usado em \mathbb{R}^3): o produto vetorial (vetor normal) \vec{a}\times\vec{b} gera um vetor ortogonal a ambos \vec{a} e \vec{b}. Vou usar essa fórmula porque é direta e evita resolver o sistema manualmente.
Lembrete do cálculo do produto vetorial por determinante:
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
onde \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários em x,y,z e a_1,a_2,a_3 são as componentes de \vec{a}, idem para \vec{b}. O resultado é o vetor cujas componentes são dadas por escrever a expansão dessa determinante.

Passo 4

Aplicando ao caso \vec{a}=(1,0,-2) e \vec{b}=(3,1,1):
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente (expandindo pela primeira linha):
  • Componente em \mathbf{i}:
\mathbf{i}\,(0\cdot1 - (-2)\cdot1) = \mathbf{i}\,(0 + 2) = 2\mathbf{i}.
  • Componente em \mathbf{j} (lembre do sinal negativo ao expandir):
-\mathbf{j}\,(1\cdot1 - (-2)\cdot3) = -\mathbf{j}\,(1 + 6) = -7\mathbf{j}.
  • Componente em \mathbf{k}:
\mathbf{k}\,(1\cdot1 - 0\cdot3) = \mathbf{k}\,(1 - 0) = 1\mathbf{k}.
Portanto
\vec{a}\times\vec{b} = 2\mathbf{i} -7\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (2,-7,1).

Passo 5

Verificação rápida (importante na prova!): confirmar que o vetor encontrado é realmente ortogonal a \vec{a} e \vec{b} fazendo os produtos escalares.
Com \vec{a}:
(2,-7,1)\cdot(1,0,-2)=2\cdot1 + (-7)\cdot0 + 1\cdot(-2)=2+0-2=0.
Com \vec{b}:
(2,-7,1)\cdot(3,1,1)=2\cdot3 + (-7)\cdot1 + 1\cdot1=6-7+1=0.
Ambos nulos, logo (2,-7,1) é ortogonal a \vec{a} e a \vec{b}.
Observação didática final: qualquer múltiplo escalar t(2,-7,1), com t\neq0, também é ortogonal a \vec{a} e \vec{b}. Então a solução geral da família de vetores ortogonais é \{\,t(2,-7,1)\mid t\in\mathbb{R}\,\}.

Resposta

\vec{d}=(2,-7,1)