Dados os vetores
e
determine um vetor
tal que o ângulo entre
e
mede
e os vetores
e
são ortogonais.
Dica: Se
entao: Como
é perpendicular a
então
(obtemos uma equação)
Como
forma angulo de
com
temos que
(obtemos outra equação)
Use estas duas equações e calcule os possíveis valores de
e
. (a resposta não é única)
Dica: Se
Como
Use estas duas equações e calcule os possíveis valores de
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede um vetor
tal que:
-
e são ortogonais, ou seja . - O ângulo entre
e mede , ou seja .
As informações relevantes que vamos usar:
- condição de ortogonalidade:
. - condição do ângulo:
. - valores numéricos:
, e .
Passo 2
Começamos impondo a ortogonalidade. Escrevendo
, a condição
dá:
Isto permite parametrizar
em termos de
e
. Tomando
obtemos
Ou seja, todos os vetores ortogonais a
têm essa forma.
Passo 3
Agora escrevemos a condição do ângulo. Primeiro calculamos
em função de
:
Em seguida calculamos o quadrado da norma de
:
A condição
fica
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ao quadrado ambos os lados (ficando atentos que isso pode introduzir soluções espúrias, que analisaremos):
Substituindo
obtemos
Expandindo e simplificando chega-se a
Passo 4
A equação quadrática homogênea em
é uma equação do tipo
. Para existir solução não-trivial
ela precisa ter discriminante não-negativo quando vista como equação em
. Calculamos o discriminante:
Como
, a única solução real da homogênea é
, o que implica
. Mas
não serve, pois o ângulo entre o zero e outro vetor não está definido. Portanto, pela via algébrica não existe nenhum
que satisfaça simultaneamente as duas condições.
Passo 5
Vamos dar também uma explicação geométrica, mais elegante e que dá intuição: para qualquer
ortogonal a
, o maior valor possível de
(ou seja, o maior cosseno do ângulo entre
e
) ocorre quando
é paralelo à componente de
que está no plano ortogonal a
. Essa componente é
Calculamos
e
, então
A norma é
. Assim, para qualquer
ortogonal a
tem-se
Ou seja, o maior cosseno possível entre
(ortogonal a
) e
é
, muito menor que
. Portanto é impossível atingir
.
Resposta
Não existe vetor
que seja simultaneamente ortogonal a
e forme ângulo de
com
.