Dados os vetores \vec{v}=(1,2,3) e \vec{w}=(1,4,5) determine um vetor \vec{u} tal que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} mede 60^{\circ} e os vetores \vec{u} e \vec{w} são ortogonais.
Dica: Se w=(x, y, z) entao: Como w é perpendicular a u então u \cdot w=0 (obtemos uma equação)
Como w forma angulo de 60^{\circ} com v temos que w \cdot v=|w||v| \cos 60 (obtemos outra equação)
Use estas duas equações e calcule os possíveis valores de x, y e z. (a resposta não é única)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{v}=(1,2,3) e \vec{w}=(1,4,5) e pede um vetor \vec{u}=(x,y,z) tal que:
  • \vec{u} e \vec{w} são ortogonais, ou seja \vec{u}\cdot\vec{w}=0.
  • O ângulo entre \vec{u} e \vec{v} mede 60^\circ, ou seja \cos 60^\circ=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\dfrac{1}{2}.
As informações relevantes que vamos usar:
  • condição de ortogonalidade: \vec{u}\cdot\vec{w}=0.
  • condição do ângulo: \vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}|\vec{u}||\vec{v}|.
  • valores numéricos: \vec{v}=(1,2,3), \vec{w}=(1,4,5) e |\vec{v}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}.

Passo 2

Começamos impondo a ortogonalidade. Escrevendo \vec{u}=(x,y,z), a condição \vec{u}\cdot\vec{w}=0 dá:
x+4y+5z=0.
Isto permite parametrizar \vec{u} em termos de y e z. Tomando x=-4y-5z obtemos
\vec{u}=(-4y-5z,\;y,\;z)=y(-4,1,0)+z(-5,0,1).
Ou seja, todos os vetores ortogonais a \vec{w} têm essa forma.

Passo 3

Agora escrevemos a condição do ângulo. Primeiro calculamos \vec{u}\cdot\vec{v} em função de y,z:
\vec{u}\cdot\vec{v}=(-4y-5z)\cdot 1 + y\cdot 2 + z\cdot 3 = -4y-5z+2y+3z = -2y-2z = -2(y+z).
Em seguida calculamos o quadrado da norma de \vec{u}:
|\vec{u}|^{2}=(-4y-5z)^{2}+y^{2}+z^{2}=17y^{2}+40yz+26z^{2}.
A condição \vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}|\vec{u}||\vec{v}| fica
-2(y+z)=\frac{1}{2}\,|\vec{u}|\,\sqrt{14}.
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ao quadrado ambos os lados (ficando atentos que isso pode introduzir soluções espúrias, que analisaremos):
4(y+z)^{2}=\frac{1}{4}\cdot 14\;|\vec{u}|^{2}=\frac{7}{2}\,|\vec{u}|^{2}.
Substituindo |\vec{u}|^{2}=17y^{2}+40yz+26z^{2} obtemos
8(y+z)^{2}=7\bigl(17y^{2}+40yz+26z^{2}\bigr).
Expandindo e simplificando chega-se a
37y^{2}+88yz+58z^{2}=0.

Passo 4

A equação quadrática homogênea em y,z
37y^{2}+88yz+58z^{2}=0
é uma equação do tipo ay^{2}+byz+cz^{2}=0. Para existir solução não-trivial (y,z)\neq(0,0) ela precisa ter discriminante não-negativo quando vista como equação em t=y/z. Calculamos o discriminante:
\Delta = 88^{2}-4\cdot 37\cdot 58 = 7744-8584 = -840 <0.
Como \Delta<0, a única solução real da homogênea é y=z=0, o que implica \vec{u}=\vec{0}. Mas \vec{u}=\vec{0} não serve, pois o ângulo entre o zero e outro vetor não está definido. Portanto, pela via algébrica não existe nenhum \vec{u}\neq\vec{0} que satisfaça simultaneamente as duas condições.

Passo 5

Vamos dar também uma explicação geométrica, mais elegante e que dá intuição: para qualquer \vec{u} ortogonal a \vec{w}, o maior valor possível de \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} (ou seja, o maior cosseno do ângulo entre \vec{u} e \vec{v}) ocorre quando \vec{u} é paralelo à componente de \vec{v} que está no plano ortogonal a \vec{w}. Essa componente é
\vec{v}_{\perp}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{v}=\vec{v}-\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{w}|^{2}}\vec{w}.
Calculamos \vec{v}\cdot\vec{w}=1+8+15=24 e |\vec{w}|^{2}=1+16+25=42, então
\operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{v}=\frac{24}{42}\vec{w}=\frac{4}{7}\vec{w}, \qquad \vec{v}_{\perp}=\vec{v}-\frac{4}{7}\vec{w}=\frac{1}{7}(3,-2,1).
A norma é |\vec{v}_{\perp}|=\dfrac{\sqrt{14}}{7}. Assim, para qualquer \vec{u} ortogonal a \vec{w} tem-se
\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\le \frac{|\vec{v}_{\perp}|}{|\vec{v}|}=\frac{\tfrac{\sqrt{14}}{7}}{\sqrt{14}}=\frac{1}{7}.
Ou seja, o maior cosseno possível entre \vec{u} (ortogonal a \vec{w}) e \vec{v} é \dfrac{1}{7}, muito menor que \dfrac{1}{2}. Portanto é impossível atingir \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.

Resposta

Não existe vetor \vec{u}\neq\vec{0} que seja simultaneamente ortogonal a \vec{w}=(1,4,5) e forme ângulo de 60^\circ com \vec{v}=(1,2,3).