Dados os vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}, encontre \vec{R} (Módulo, Direção e Sentido) e fça um esboço do resultado.
\vec{a} está na horizontal no setindo para a direita e \vec{b} faz um ângulo de 30^{0} em relação ao primeiro vetor, sendo a=\sqrt{2}, b=\frac{a}{2} e \vec{R}=2 \vec{a}-\vec{b}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado, sem assumir nada a mais):
  • Nos dão três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} mas a expressão que interessa é \vec{R}=2\vec{a}-\vec{b}.
  • Sentido de \vec{a}: horizontal para a direita.
  • \vec{b} faz um ângulo de 30^\circ em relação a \vec{a}. Vou assumir que esse ângulo é no sentido anti-horário (ou seja, \vec{b} está 30^\circ acima do eixo de \vec{a}); como o enunciado não disse “acima” ou “abaixo”, escolho esta convenção e explico como seria o contrário se fosse o caso.
  • Valores dos módulos: a=\sqrt{2} e b=\dfrac{a}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • O que o enunciado pede: encontrar o vetor \vec{R} em módulo, direção (ângulo em relação a \vec{a}) e sentido, e fazer um esboço.

Passo 2

Escolha de sistema de referência e representação por componentes (a técnica básica que vamos usar).
  • Coloco a origem onde os vetores partem e escolho o eixo x na direção de \vec{a} (para a direita) e o eixo y para cima.
  • Representação em componentes: qualquer vetor \vec{v} com módulo v e ângulo \varphi medido a partir do eixo x tem componentes
\vec{v} = v\cos\varphi\,\hat{\imath} + v\sin\varphi\,\hat{\jmath}.
Aqui \hat{\imath} é a unidade em x (direita) e \hat{\jmath} em y (para cima). Esta fórmula vem de decompor o vetor em catetos de um triângulo retângulo formado pelo vetor e suas projeções sobre os eixos.

Passo 3

Escrever \vec{a} e \vec{b} em componentes usando os números dados.
  • Como \vec{a} está exatamente na horizontal para a direita e tem módulo a=\sqrt{2}, temos
\vec{a} = a\,\hat{\imath} = \sqrt{2}\,\hat{\imath} \quad\Rightarrow\quad \vec{a} = \bigl(\sqrt{2},\,0\bigr).
  • Para \vec{b}: módulo b=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e ângulo \varphi=30^\circ. Usando \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\dfrac{1}{2},
\vec{b} = b\cos30^\circ\,\hat{\imath} + b\sin30^\circ\,\hat{\jmath} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,\hat{\imath} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\,\hat{\jmath}.
Em componentes:
\vec{b}=\left(\frac{\sqrt{6}}{4},\,\frac{\sqrt{2}}{4}\right).

Passo 4

Calcular 2\vec{a} e depois \vec{R}=2\vec{a}-\vec{b} por componentes.
  • 2\vec{a} = 2\cdot\sqrt{2}\,\hat{\imath} = \bigl(2\sqrt{2},\,0\bigr).
  • Subtraindo as componentes:
\vec{R} = 2\vec{a} - \vec{b} = \Bigl(2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{6}}{4},\; 0 - \frac{\sqrt{2}}{4}\Bigr).
Podemos simplificar a componente x fatorando \sqrt{2} se quisermos, por exemplo
R_x = 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{8\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}\bigl(8-\sqrt{3}\bigr), \qquad R_y = -\frac{\sqrt{2}}{4}.
Se for mais fácil visualizar, os valores numéricos são aproximadamente
R_x \approx 2{,}21605,\qquad R_y\approx -0{,}35355.

Passo 5

Calcular o módulo \lvert\vec{R}\rvert (a fórmula e a conta).
  • Fórmula: para um vetor com componentes (R_x,R_y),
\lvert\vec{R}\rvert = \sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}}.
  • É mais elegante usar álgebra vetorial começando por \lvert\vec{R}\rvert^{2}=\langle 2\vec{a}-\vec{b},\,2\vec{a}-\vec{b}\rangle. Isso dá
\lvert\vec{R}\rvert^{2}=4\lvert\vec{a}\rvert^{2}+\lvert\vec{b}\rvert^{2}-4\,\vec{a}\cdot\vec{b}.
Aqui \vec{a}\cdot\vec{b}=\lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert\cos30^\circ. Substituindo b=a/2 e a^{2}=2:
\lvert\vec{R}\rvert^{2} = 4a^{2} + \frac{a^{2}}{4} - 4\Bigl(a\cdot\frac{a}{2}\cos30^\circ\Bigr) = \frac{17}{4}a^{2} -4\cdot\frac{a^{2}}{2}\cos30^\circ.
Com a^{2}=2 e \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} obtemos
\lvert\vec{R}\rvert^{2} = \frac{17}{2} - 2\sqrt{3}.
Portanto o módulo exato é
\lvert\vec{R}\rvert = \sqrt{\dfrac{17}{2} - 2\sqrt{3}}.
Valor aproximado:
\lvert\vec{R}\rvert \approx 2{,}24409.

Passo 6

Calcular a direção (ângulo de \vec{R} em relação a \vec{a}, medido a partir do eixo x).
  • Usamos \tan\theta = \dfrac{R_y}{R_x}. Com as componentes encontradas:
\tan\theta = \frac{-\dfrac{\sqrt{2}}{4}}{\,2\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{6}}{4}\,}.
Multiplicando numerador e denominador por 4 e simplificando por \sqrt{2} dá uma expressão simples:
\tan\theta = -\frac{1}{8-\sqrt{3}}.
  • Assim \theta = \arctan\!\left(-\dfrac{1}{8-\sqrt{3}}\right). Numericamente,
\theta \approx -9{,}06^\circ.
Isto significa que \vec{R} forma aproximadamente um ângulo de 9{,}06^\circ abaixo do eixo de \vec{a} (o sinal negativo indica que está para baixo).

Passo 7

Sentido e interpretação final (como escrever no enunciado da prova).
  • Sentido: aponta para a direita (porque R_x>0) e ligeiramente para baixo (porque R_y<0). Em palavras: “para a direita e 9{,}06^\circ abaixo da horizontal”.
  • Resumo numérico útil para a prova:
    • Módulo \approx 2{,}244.
    • Direção \approx -9{,}06^\circ (ou “ 9{,}06^\circ abaixo do eixo de \vec{a}”).
    • Sentido: para a direita e para baixo.

Passo 8

Como esboçar (passo a passo rápido para o desenho):
  1. Desenhe um eixo horizontal (direita) e marque um segmento representando \vec{a} com comprimento proporcional a \sqrt{2}.
  2. A partir da mesma origem, desenhe \vec{b} com comprimento metade de \vec{a} e inclinado 30^\circ acima da horizontal.
  3. Desenhe 2\vec{a} como dois vezes o comprimento de \vec{a} para a direita.
  4. Agora faça a soma 2\vec{a}+(-\vec{b}): desenhe -\vec{b} (mesma magnitude de \vec{b} mas apontando 180^\circ oposto, isto é, 30^\circ abaixo da horizontal para a esquerda) a partir da ponta de 2\vec{a}; o vetor do início (origem) até a ponta final é \vec{R}.
  5. O resultado será um vetor longo para a direita e ligeiramente para baixo — confirme que o ângulo está perto de 9^\circ abaixo da horizontal.

Resposta

Módulo: \displaystyle \lvert\vec{R}\rvert=\sqrt{\dfrac{17}{2}-2\sqrt{3}}\approx 2{,}24409
Direção (ângulo com \vec{a}, positivo para cima): \displaystyle \theta=\arctan\!\left(-\dfrac{1}{8-\sqrt{3}}\right)\approx -9{,}06^\circ
Sentido: para a direita e 9{,}06^\circ para baixo em relação a \vec{a}.