Dados os vetores
e
, encontre
(Módulo, Direção e Sentido) e fça um esboço do resultado.
está na horizontal no setindo para a direita e
faz um ângulo de
em relação ao primeiro vetor, sendo
e
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado, sem assumir nada a mais):
- Nos dão três vetores
mas a expressão que interessa é . - Sentido de
: horizontal para a direita. -
faz um ângulo de em relação a . Vou assumir que esse ângulo é no sentido anti-horário (ou seja, está acima do eixo de ); como o enunciado não disse “acima” ou “abaixo”, escolho esta convenção e explico como seria o contrário se fosse o caso. - Valores dos módulos:
e . - O que o enunciado pede: encontrar o vetor
em módulo, direção (ângulo em relação a ) e sentido, e fazer um esboço.
Passo 2
Escolha de sistema de referência e representação por componentes (a técnica básica que vamos usar).
- Coloco a origem onde os vetores partem e escolho o eixo
na direção de (para a direita) e o eixo para cima. - Representação em componentes: qualquer vetor
com módulo e ângulo medido a partir do eixo tem componentes
Aqui
é a unidade em
(direita) e
em
(para cima). Esta fórmula vem de decompor o vetor em catetos de um triângulo retângulo formado pelo vetor e suas projeções sobre os eixos.
Passo 3
Escrever
e
em componentes usando os números dados.
- Como
está exatamente na horizontal para a direita e tem módulo , temos
- Para
: módulo e ângulo . Usando e ,
Em componentes:
Passo 4
Calcular
e depois
por componentes.
-
- Subtraindo as componentes:
Podemos simplificar a componente
fatorando
se quisermos, por exemplo
Se for mais fácil visualizar, os valores numéricos são aproximadamente
Passo 5
Calcular o módulo
(a fórmula e a conta).
- Fórmula: para um vetor com componentes
,
- É mais elegante usar álgebra vetorial começando por
. Isso dá
Aqui
. Substituindo
e
:
Com
e
obtemos
Portanto o módulo exato é
Valor aproximado:
Passo 6
Calcular a direção (ângulo de
em relação a
, medido a partir do eixo
).
- Usamos
. Com as componentes encontradas:
Multiplicando numerador e denominador por
e simplificando por
dá uma expressão simples:
- Assim
. Numericamente,
Isto significa que
forma aproximadamente um ângulo de
abaixo do eixo de
(o sinal negativo indica que está para baixo).
Passo 7
Sentido e interpretação final (como escrever no enunciado da prova).
- Sentido: aponta para a direita (porque
) e ligeiramente para baixo (porque ). Em palavras: “para a direita e abaixo da horizontal”. - Resumo numérico útil para a prova:
- Módulo
. - Direção
(ou “ abaixo do eixo de ”). - Sentido: para a direita e para baixo.
- Módulo
Passo 8
Como esboçar (passo a passo rápido para o desenho):
- Desenhe um eixo horizontal (direita) e marque um segmento representando
com comprimento proporcional a . - A partir da mesma origem, desenhe
com comprimento metade de e inclinado acima da horizontal. - Desenhe
como dois vezes o comprimento de para a direita. - Agora faça a soma
: desenhe (mesma magnitude de mas apontando oposto, isto é, abaixo da horizontal para a esquerda) a partir da ponta de ; o vetor do início (origem) até a ponta final é . - O resultado será um vetor longo para a direita e ligeiramente para baixo — confirme que o ângulo está perto de
abaixo da horizontal.
Resposta
Módulo:
Direção (ângulo com , positivo para cima):
Sentido: para a direita e para baixo em relação a
.
Direção (ângulo com
Sentido: para a direita e