1. Dados os vetores \vec{u}=(-4,3) e \vec{v}=(2,-1), determine o vetor \vec{w} tal que:
\vec{w}=2 \vec{u}-\frac{2}{3} \vec{v}
Calcule o módulo |\vec{w}|.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(-4,3) e \vec{v}=(2,-1) e pede duas coisas:
  • Determinar o vetor \vec{w} tal que \displaystyle \vec{w}=2\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}.
  • Calcular o módulo |\vec{w}|.
As informações relevantes são exatamente os componentes de \vec{u} e \vec{v} e a combinação linear indicada para obter \vec{w}.

Passo 2

Entendendo a operação: multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar. Por exemplo, se \vec{a}=(a_x,a_y) e \lambda é um número, então
\lambda\vec{a}=(\lambda a_x,\;\lambda a_y).
Usamos isso para calcular primeiro 2\vec{u}.

Passo 3

Calcule 2\vec{u}:
2\vec{u}=2(-4,3)=(-8,6).
Aqui multiplicou-se cada componente de \vec{u} por 2: 2\cdot(-4)=-8 e 2\cdot3=6.

Passo 4

Agora calcule \dfrac{2}{3}\vec{v}. Aplicando a mesma regra de multiplicação componente a componente:
\frac{2}{3}\vec{v}=\frac{2}{3}(2,-1)=\left(\frac{4}{3},-\frac{2}{3}\right).
Porque \dfrac{2}{3}\cdot 2=\dfrac{4}{3} e \dfrac{2}{3}\cdot(-1)=-\dfrac{2}{3}.

Passo 5

Agora fazemos a subtração de vetores componente a componente:
\vec{w}=2\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}=(-8,6)-\left(\frac{4}{3},-\frac{2}{3}\right).
Subtrair componente a componente dá:
\begin{aligned} w_x &= -8 - \frac{4}{3},\\[4pt] w_y &= 6 - \left(-\frac{2}{3}\right). \end{aligned}
Para somar/subtrair frações é útil pôr tudo sobre denominador comum 3:
-8=-\frac{24}{3}\quad\text{e}\quad 6=\frac{18}{3}.
Assim
\begin{aligned} w_x &= -\frac{24}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{28}{3},\\[4pt] w_y &= \frac{18}{3}+\frac{2}{3}=\frac{20}{3}. \end{aligned}
Portanto
\vec{w}=\left(-\frac{28}{3},\;\frac{20}{3}\right).]

Passo 6

Opção de verificação/simplificação: pode-se fatorar \dfrac{1}{3} ou \dfrac{4}{3}:
\vec{w}=\frac{1}{3}(-28,20)=\frac{4}{3}(-7,5).
Isso é só uma forma alternativa de escrever o mesmo vetor.

Passo 7

Agora calcular o módulo de \vec{w}. Para um vetor \vec{w}=(w_x,w_y) o módulo é dado por
|\vec{w}|=\sqrt{w_x^{2}+w_y^{2}}.
Aqui w_x=-\dfrac{28}{3} e w_y=\dfrac{20}{3}, então
\begin{aligned} |\vec{w}| &= \sqrt{\left(-\frac{28}{3}\right)^{2}+\left(\frac{20}{3}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{784}{9}+\frac{400}{9}}\\[6pt] &= \sqrt{\frac{1184}{9}}=\frac{\sqrt{1184}}{3}. \end{aligned}
Fatorando 1184 notamos 1184=16\cdot74, logo \sqrt{1184}=4\sqrt{74}. Assim
|\vec{w}|=\frac{4\sqrt{74}}{3}.
Se quiser um valor numérico aproximado, \sqrt{74}\approx 8{,}6023, então
|\vec{w}|\approx \frac{4\cdot 8{,}6023}{3}\approx 11{,}4698.]

Resposta

\vec{w}=\left(-\dfrac{28}{3},\;\dfrac{20}{3}\right)
|\vec{w}|=\dfrac{4\sqrt{74}}{3}