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Dados os vetores
, determine escalares
não todos nulos tais que
.
(a)
Dados os vetores
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no plano,
e
, e precisamos encontrar escalares
e
que não sejam ambos zero, de forma que a combinação linear
. Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações usando as componentes dos vetores.
Passo 2
Vamos escrever a combinação linear
em termos das suas componentes:
Isso resulta nas seguintes equações para cada componente:
Passo 3
Observamos que a segunda equação é apenas o dobro da primeira, ou seja, as duas equações são equivalentes. Isso significa que temos infinitas soluções para
e
, desde que elas satisfaçam
.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para encontrar uma relação entre
e
:
Isso nos indica que qualquer valor de
gera um valor de
correspondente que satisfaz a equação.
Passo 5
Para encontrar uma solução específica, podemos escolher um valor para um dos escalares. Por exemplo, se escolhermos
, então:
Resposta
Uma solução é
e
, ou seja,
.