Dados A=x+y, B=x-y e C=x \cdot y, para x \neq y, x \neq 0 e y \neq 0. Simplificando expressão algébrica \frac{A^{2}-B^{2}}{C}, obtém-se:
a) 0 .
b) \frac{2 y}{x}.
c) 4 .
d) -\frac{2 x}{2}
e) -\frac{2 x}{y}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes definições e condições:
  • A = x + y.
  • B = x - y.
  • C = x \cdot y.
  • Restrições: x \neq y, x \neq 0 e y \neq 0.
O que se pede: simplificar a expressão
\frac{A^{2}-B^{2}}{C}.

Passo 2

Lembra da identidade algébrica básica “diferença de quadrados”:
a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b).
Explicando: essa identidade vem de expandir o produto à direita:
(a-b)(a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}.
Vamos usar essa identidade com a=A e b=B.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos
A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B).
Agora substituímos A=x+y e B=x-y:
A-B=(x+y)-(x-y)=x+y-x+y=2y,
A+B=(x+y)+(x-y)=x+y+x-y=2x.
Portanto
A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)=(2y)(2x)=4xy.

Passo 4

Voltando à expressão original e usando C=xy,
\frac{A^{2}-B^{2}}{C}=\frac{4xy}{xy}.
Como x\neq0 e y\neq0, pode-se cancelar xy no numerador e denominador:
\frac{4xy}{xy}=4.

Passo 5

Verificação rápida: outra forma (expandindo os quadrados) daria
(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=(x^{2}+2xy+y^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})=4xy,
o que confirma o resultado anterior. A condição x\neq y não foi necessária para a simplificação, mas x\neq0 e y\neq0 são necessárias para permitir a divisão por C=xy.

Resposta

c) 4