Dão-se a seguir, os escores do grau de poder de leitura (GPL) para uma amostra aleatória simples de 44 estudantes de terceira série de um distrito escolar suburbano dos EUA, para a disciplina de Biologia:
\begin{aligned} & 4026391442182543462719 \\\ & 4719263534154440383146 \\\ & 5225353533293441492852 \\\ & 4735482233415127145445 \end{aligned}
Supõe-se que os escores de GPL são aproximadamente normais. O professor da matéria acha que o escore médio dos alunos de terceira série nesse distrito seja superior à média nacional que é de 32 . Analisando os dados que conclusões você tira acerca da opinião do professor?

Passo 1

O enunciado fornece os 44 escores de GPL (grau de poder de leitura) de uma amostra aleatória simples de estudantes. Ele pede que, supondo que os escores sejam aproximadamente normais, analisemos se os dados dão suporte à opinião do professor de que o escore médio do distrito é superior à média nacional, que é \,32.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Dados (44 observações):}\\\ &40,\,26,\,39,\,14,\,42,\,18,\,25,\,43,\,46,\,27,\,19,\\\ &47,\,19,\,26,\,35,\,34,\,15,\,44,\,40,\,38,\,31,\,46,\\\ &52,\,25,\,35,\,35,\,33,\,29,\,34,\,41,\,49,\,28,\,52,\\\ &47,\,35,\,48,\,22,\,33,\,41,\,51,\,27,\,14,\,54,\,45. \end{aligned}çõ
Pergunta a responder (claramente):
\text{Os dados fornecem evidência de que a média } \mu \text{ do distrito é maior que }32\;?êéé

Passo 2

Definimos as hipóteses do teste (o professor afirma “superior”, logo é teste unilateral à direita):
\begin{aligned} &H_0:\\ \mu = 32,\\\ &H_1:\\ \mu > 32. \end{aligned}
Explicação didática: aqui \mu é o verdadeiro escore médio de GPL dos alunos do distrito. H_0 é a hipótese de referência (não há diferença), e H_1 é a hipótese do professor (média maior). Como a variância populacional é desconhecida e a amostra tem tamanho moderado ( n=44), usamos o teste t de Student para uma amostra.

Passo 3

Calculemos a média amostral \bar{x}.
Somando todas as 44 observações obtém-se \sum x_i = 1544. Portanto
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1544}{44} = \frac{386}{11} \approx 35{,}0909.
Explicação didática: \bar{x} é a estimativa natural para \mu. Aqui ficou um pouco acima de 32, mas precisamos verificar se essa diferença é grande o suficiente em relação à variabilidade dos dados.

Passo 4

Calculemos a variabilidade amostral (variância amostral e desvio padrão amostral).
Primeiro a soma dos quadrados das observações é \sum x_i^2 = 59564. Então o somatório dos quadrados corrigido é
\mathrm{SS} = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2}{n} =59564 - \frac{1544^2}{44} = 59564 - 54180{,}3636\approx 5383{,}6364.
A variância amostral (com divisor n-1) é
s^2=\frac{\mathrm{SS}}{n-1}=\frac{5383{,}6364}{43}\approx 125{,}2004.
O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}\approx 11{,}192.
Explicação didática: \mathrm{SS} mede a soma das variações em torno da média; dividindo por n-1 obtemos a estimativa imparcial da variância populacional. O desvio padrão s mostra, em média, quão dispersos estão os escores.

Passo 5

Calculemos a estatística de teste t.
A erro padrão da média é
\mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}\approx\frac{11{,}192}{\sqrt{44}}\approx\frac{11{,}192}{6{,}6333}\approx 1{,}687.
A estatística t (uma amostra) é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\mathrm{SE}}=\frac{35{,}0909-32}{1{,}687}\approx\frac{3{,}0909}{1{,}687}\approx 1{,}833.
Aqui \mu_0=32 é o valor sob H_0. Os graus de liberdade são n-1=43.
Explicação didática: t mede quantos erros-padrão a média amostral está acima do valor hipotético 32. Quanto maior t, mais forte a evidência contra H_0.

Passo 6

Decisão usando nível de significância comum \alpha=0{,}05 (5%):
O valor crítico para um teste unilateral à direita com df=43 e \alpha=0{,}05 é aproximadamente t_{0{,}05,43}\approx 1{,}684.
Comparando:
t_{\text{calc}}\approx 1{,}833 > t_{0{,}05,43}\approx 1{,}684,
logo rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
Cálculo aproximado do p-valor (unilateral):
Para t\approx 1{,}833 com 43 graus de liberdade, o p-valor unilateral é aproximadamente
p\approx 0{,}036\quad(\text{aprox.}).
Isso significa que a probabilidade de observar uma média tão alta (ou mais) se \mu=32 fosse verdadeira é cerca de 3{,}6\%, bem menor que 5\%.
Observação adicional (interpretação por intervalo de confiança):
O limite inferior do intervalo de confiança unilateral de 95\% para \mu é
\bar{x}-t_{0{,}05,43}\cdot\mathrm{SE}\approx 35{,}0909 - 1{,}684\cdot 1{,}687 \approx 32{,}25,
que é maior que 32. Isso reforça a conclusão do teste unilateral (note que o intervalo bilateral de 95\% teria limite inferior um pouco menor que 32, porque usa t_{0{,}025}).

Passo 7

Conclusão final com linguagem direta e amigável:
  • A estatística de teste é t\approx 1{,}833 com 43 graus de liberdade.
  • O p-valor unilateral é aproximadamente 0{,}036.
  • Ao nível de significância \alpha=0{,}05 rejeitamos H_0 e concluímos que há evidência estatística de que a média dos escores de GPL no distrito é maior que \,32.
  • Em termos práticos, a média amostral é \bar{x}\approx 35{,}091 com desvio padrão amostral s\approx 11{,}192.
Força moralzinha: isso sugere que a opinião do professor tem respaldo nos dados (ao nível de 5\%). Se quiser posso calcular o p-valor mais precisamente ou montar a tabela t passo a passo—diz aí que eu continuo ajudando!

Resposta

Rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05; há evidência estatística de que a média do distrito é superior a 32. Estatísticas: \bar{x}=35{,}0909, s\approx 11{,}192, t\approx 1{,}833 (gl =43), p-valor unilateral \approx 0{,}036.