Dão-se a seguir, os escores do grau de poder de leitura (GPL) para uma amostra aleatória simples de 44 estudantes de terceira série de um distrito escolar suburbano dos EUA, para a disciplina de Biologia:
Supõe-se que os escores de GPL são aproximadamente normais. O professor da matéria acha que o escore médio dos alunos de terceira série nesse distrito seja superior à média nacional que é de 32 . Analisando os dados que conclusões você tira acerca da opinião do professor?
Passo 1
O enunciado fornece os 44 escores de GPL (grau de poder de leitura) de uma amostra aleatória simples de estudantes. Ele pede que, supondo que os escores sejam aproximadamente normais, analisemos se os dados dão suporte à opinião do professor de que o escore médio do distrito é superior à média nacional, que é
.
Informações relevantes dadas:
Pergunta a responder (claramente):
Passo 2
Definimos as hipóteses do teste (o professor afirma “superior”, logo é teste unilateral à direita):
Explicação didática: aqui
é o verdadeiro escore médio de GPL dos alunos do distrito.
é a hipótese de referência (não há diferença), e
é a hipótese do professor (média maior). Como a variância populacional é desconhecida e a amostra tem tamanho moderado (
), usamos o teste
de Student para uma amostra.
Passo 3
Calculemos a média amostral
.
Somando todas as 44 observações obtém-se . Portanto
Somando todas as 44 observações obtém-se
Explicação didática:
é a estimativa natural para
. Aqui ficou um pouco acima de
, mas precisamos verificar se essa diferença é grande o suficiente em relação à variabilidade dos dados.
Passo 4
Calculemos a variabilidade amostral (variância amostral e desvio padrão amostral).
Primeiro a soma dos quadrados das observações é . Então o somatório dos quadrados corrigido é
Primeiro a soma dos quadrados das observações é
A variância amostral (com divisor
) é
O desvio padrão amostral é
Explicação didática:
mede a soma das variações em torno da média; dividindo por
obtemos a estimativa imparcial da variância populacional. O desvio padrão
mostra, em média, quão dispersos estão os escores.
Passo 5
Calculemos a estatística de teste
.
A erro padrão da média é
A erro padrão da média é
A estatística
(uma amostra) é
Aqui
é o valor sob
. Os graus de liberdade são
.
Explicação didática:
mede quantos erros-padrão a média amostral está acima do valor hipotético
. Quanto maior
, mais forte a evidência contra
.
Passo 6
Decisão usando nível de significância comum
(5%):
O valor crítico para um teste unilateral à direita com e
é aproximadamente
.
Comparando:
O valor crítico para um teste unilateral à direita com
Comparando:
logo rejeitamos
ao nível
.
Cálculo aproximado do p-valor (unilateral):
Para com
graus de liberdade, o p-valor unilateral é aproximadamente
Para
Isso significa que a probabilidade de observar uma média tão alta (ou mais) se
fosse verdadeira é cerca de
, bem menor que
.
Observação adicional (interpretação por intervalo de confiança):
O limite inferior do intervalo de confiança unilateral de para
é
O limite inferior do intervalo de confiança unilateral de
que é maior que
. Isso reforça a conclusão do teste unilateral (note que o intervalo bilateral de
teria limite inferior um pouco menor que
, porque usa
).
Passo 7
Conclusão final com linguagem direta e amigável:
- A estatística de teste é
com graus de liberdade. - O p-valor unilateral é aproximadamente
. - Ao nível de significância
rejeitamos e concluímos que há evidência estatística de que a média dos escores de GPL no distrito é maior que . - Em termos práticos, a média amostral é
com desvio padrão amostral .
Força moralzinha: isso sugere que a opinião do professor tem respaldo nos dados (ao nível de
). Se quiser posso calcular o p-valor mais precisamente ou montar a tabela
passo a passo—diz aí que eu continuo ajudando!
Resposta
Rejeitamos
ao nível
; há evidência estatística de que a média do distrito é superior a
. Estatísticas:
,
,
(gl
), p-valor unilateral
.