Dar as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto \mathbf{P}=(1,1,1) é paralelo a reta \mathrm{X}=(0,2,3)+\lambda(1,-1,0) e perpendicular ao plano \pi: \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+\mathrm{z}=0.

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas do plano que (a) passa por P=(1,1,1), (b) é paralelo à reta
\mathbf{X}=(0,2,3)+\lambda\,(1,-1,0)
e (c) é perpendicular ao plano \pi\colon x-2y+z=0.
Para resolver, vamos extrair o vetor direção da reta, o vetor normal de \pi, usar a condição de perpendicularidade de planos (seus normais são perpendiculares) e a condição de paralelismo reta–plano (o vetor direção da reta pertence ao plano).

Passo 2

Da reta dada, o vetor direção é
v_{1}=(1,-1,0).
Do plano \pi, o vetor normal é
n_{\pi}=(1,-2,1).

Passo 3

Como o plano buscado é perpendicular a \pi, seu vetor normal n satisfaz
n\cdot n_{\pi}=0
e como é paralelo à reta, também satisfaz
n\cdot v_{1}=0.
Logo, n é perpendicular tanto a v_{1} quanto a n_{\pi}, isto é, é paralelo ao produto vetorial
n \;=\; v_{1}\times n_{\pi} \;=\; \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&-1&0\\\\ 1&-2&1 \end{vmatrix} =(-1,-1,-1).
Podemos simplificar para
n=(1,1,1).

Passo 4

Para escrever as equações paramétricas, precisamos de dois vetores diretores do plano. Já temos v_{1}=(1,-1,0). Escolhemos um segundo vetor v_{2} qualquer que seja perpendicular a n e não colinear a v_{1}, por exemplo
v_{2}=(1,0,-1),
pois (1,0,-1)\cdot(1,1,1)=0.

Passo 5

O plano passa por P=(1,1,1) e tem vetores diretores v_{1} e v_{2}. Suas equações paramétricas são, usando parâmetros s,t:
(x,y,z)=(1,1,1)+s\,(1,-1,0)+t\,(1,0,-1).
Isto é,
x=1+s+t,\quad y=1-s,\quad z=1-t.

Resposta

As equações paramétricas do plano são
\begin{cases} x=1+s+t,\\\ y=1-s,\\\ z=1-t, \end{cases}
com s,t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados