Decida se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Prove ou dê contraexemplo.
Para quaisquer conjuntos A e B, B-(B-A)=A.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se, para quaisquer conjuntos A e B, vale sempre
B - (B - A) \;=\; A.
O conteúdo envolvido é álgebra de conjuntos, em particular diferença e interseção de conjuntos.

Passo 2

Vamos calcular explicitamente B - (B - A) por meio de condição de pertinência. Seja um elemento genérico x. Temos:
x \in B - (B - A)
se, e somente se,
  1. x \in B, e
  2. x \notin (B - A).
Por definição de diferença,
x \notin (B - A) \quad\Longleftrightarrow\quad \neg\bigl(x \in B \;\wedge\; x \notin A\bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad x \notin B\;\lor\;x\in A.
Portanto
x \in B - (B - A) \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(x\in B\bigr)\;\wedge\;\bigl(x\notin B\lor x\in A\bigr).
Distribuindo a conjunção sobre a disjunção, obtemos
\bigl(x\in B\wedge x\notin B\bigr)\;\lor\;\bigl(x\in B\wedge x\in A\bigr).
O primeiro termo é sempre falso, restando
x\in B - (B - A) \quad\Longleftrightarrow\quad x\in A\;\wedge\;x\in B,
ou seja,
B - (B - A) \;=\; A\cap B.

Passo 3

Concluímos que
B - (B - A) = A\cap B,
e não, em geral, igual a A. A identidade A\cap B = A só ocorre quando A\subseteq B. Logo, a afirmação do enunciado é falsa, pois não exige A\subseteq B.

Passo 4

Um contraexemplo simples:
Tome A=\{1\} e B=\{2\}. Então
B - A = \{2\}-\{1\}=\{2\}, \quad B - (B - A)=\{2\}-\{2\}=\varnothing,
enquanto A=\{1\}\neq\varnothing.

Resposta

A afirmação é falsa. De fato
B - (B - A)=A\cap B\neq A
em geral, e o contraexemplo acima mostra a desigualdade.

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