Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se
e
são soluções do sistema
, então
é solução de
.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pergunta sobre um sistema linear não homogêneo
e quer saber se, sempre que
e
são soluções (ou seja, satisfazem
e
), então a soma
também é solução desse mesmo sistema.
Passo 2
Como
e
satisfazem o sistema, temos
Pela propriedade de linearidade da multiplicação matricial,
Passo 3
Para que
seja solução de
, precisaríamos de
Mas acabamos de ver que
. Logo, em geral
salvo no caso trivial em que
.
Passo 4
Contra-exemplo simples: seja
Duas soluções são
e
, pois
Porém
logo
não resolve
.
Resposta
A afirmação é às vezes falsa.