Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Se o sistema linear
é incompatível, então a matriz
não é invertível.
( ) Seja
Passo 1
O enunciado pertence a Álgebra Linear e trata da relação entre invertibilidade de uma matriz quadrada
e a existência de soluções para o sistema linear
Queremos decidir se é sempre verdadeira a afirmação: “Se
é incompatível, então
não é invertível.”
Passo 2
Lembramos que uma matriz quadrada
de ordem
é invertível se, e somente se, para todo vetor
o sistema
tem exatamente uma solução, dada por
Em particular, se
é invertível, não há como o sistema ser incompatível (sem solução).
Passo 3
A negação lógica dessa equivalência é: se existe algum vetor
tal que
não tenha solução, então
não pode ser invertível. Esse é exatamente o enunciado dado. Não há exceção: a inexistência de solução para algum
impede a existência de
.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.