Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas provando as afirmações verdadeiras e dando contra-exemplos nos casos em que são falsas.
Toda função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ímpar é injetiva.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se “toda função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} ímpar é injetiva” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve as definições de função ímpar e função injetiva.

Passo 2

Lembrando as definições:
– Uma função f é ímpar se, para todo x\in\mathbb{R},
f(-x) = -\,f(x).
– Uma função f é injetiva se, sempre que f(x_1)=f(x_2), segue que x_1=x_2.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa basta um contra-exemplo. Considere
f(x) = \sin(x).
Essa função satisfaz
f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -\,f(x),
logo é ímpar. Entretanto,
f(0) = \sin(0) = 0 \quad\text{e}\quad f(\pi) = \sin(\pi) = 0,
mas 0 \neq \pi. Então f(0)=f(\pi) com 0 \neq \pi, isto é, f não é injetiva.

Resposta

Falsa. A função f(x)=\sin(x) é ímpar mas não é injetiva.

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