Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas provando as afirmações verdadeiras e dando contra-exemplos nos casos em que são falsas.
Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} onde f é ímpar. Então, g \circ f é ímpar.

Passo 1

O enunciado considera funções f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} com f ímpar, ou seja,
f(-x)=-f(x)\quad\forall x\in\mathbb{R},
e pergunta se daí segue que g\circ f é ímpar, isto é, se vale
(g\circ f)(-x)=-(g\circ f)(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Para que g\circ f seja ímpar precisamos ter
(g\circ f)(-x)=-(g\circ f)(x).
Mas
(g\circ f)(-x)=g\bigl(f(-x)\bigr)=g\bigl(-f(x)\bigr)
e
-(g\circ f)(x)=-\,g\bigl(f(x)\bigr).
Logo a condição se reduz a
g\bigl(-f(x)\bigr)=-\,g\bigl(f(x)\bigr)\quad\forall x,
ou seja, exige que g seja ímpar.

Passo 3

Como o enunciado não impõe nenhuma hipótese de paridade para g, não podemos garantir que g seja ímpar. Logo, em geral g\circ f não precisa ser ímpar. A afirmação é falsa.

Passo 4

Contraexemplo concreto:
f(x)=x\quad(\text{ímpar}), \qquad g(x)=1\quad(\text{não ímpar}).íãí
Então
(g\circ f)(x)=1\quad\forall x,
e, por exemplo, para x=1
(g\circ f)(-1)=1\neq -1=-(g\circ f)(1),
logo g\circ f não é ímpar.

Resposta

Falsa

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