Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência
e precisa descobrir se ela converge (ou seja, se ela tem um limite quando
cresce para o infinito) ou se ela diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência. Note que:
Então, a sequência fica:
Isso já deixa a gente mais próximo de aplicar algumas propriedades de limites que conhecemos.
Passo 3
Sabemos que:
Onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Isso significa que, conforme
cresce,
se aproxima de
.
Passo 4
Agora, observe que nossa sequência
pode ser reescrita assim:
Usando o que sabemos do passo anterior, isso é aproximadamente:
Sabemos que
cresce muito rápido conforme
aumenta. Portanto, conforme
vai para o infinito,
também vai para o infinito.
Resposta
A sequência
é divergente, pois seu limite é infinito.