Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. a_n = ((n + 1) / n)^(n^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência e precisa descobrir se ela converge (ou seja, se ela tem um limite quando cresce para o infinito) ou se ela diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência. Note que:
Então, a sequência fica:
Isso já deixa a gente mais próximo de aplicar algumas propriedades de limites que conhecemos.

Passo 3

Sabemos que:
Onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Isso significa que, conforme cresce, se aproxima de .

Passo 4

Agora, observe que nossa sequência pode ser reescrita assim:
Usando o que sabemos do passo anterior, isso é aproximadamente:
Sabemos que cresce muito rápido conforme aumenta. Portanto, conforme vai para o infinito, também vai para o infinito.

Resposta

A sequência é divergente, pois seu limite é infinito.

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