Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
, onde
e
é o conjunto das funções de
em
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto
, onde
,
e , é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear relacionados à independência linear de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de funções ser linearmente independente. Um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma função do conjunto pode ser escrita como combinação linear das outras. Em outras palavras, se a única solução para a equação
for
, então as funções são linearmente independentes. Caso contrário, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Vamos analisar se uma das funções pode ser escrita como combinação das outras. Observamos as funções dadas:
Sabemos da identidade trigonométrica fundamental que:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que
é uma combinação linear de
e
.
Passo 4
Como conseguimos expressar
como uma combinação linear das outras duas funções, isso significa que o conjunto
não atende à condição de independência linear. Ou seja, existe uma relação não trivial entre as funções do conjunto.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente (LD).