Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
S=f1, f2, f3 subset F, onde f1(x)=cos ^2 x, f2(x)=1, f3(x)=sen^2 x e F é o conjunto das funções de R em R.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto , onde , e , é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear relacionados à independência linear de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de funções ser linearmente independente. Um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma função do conjunto pode ser escrita como combinação linear das outras. Em outras palavras, se a única solução para a equação
c1f1(x) + c2f2(x) + c3f3(x) = 0
for , então as funções são linearmente independentes. Caso contrário, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos analisar se uma das funções pode ser escrita como combinação das outras. Observamos as funções dadas:
Sabemos da identidade trigonométrica fundamental que:
Podemos reescrever isso como:
f1(x) = cos^2 x, f2(x) = 1, f3(x) = sen^2 x
Isso mostra que cos^2 x + sen^2 x = 1 é uma combinação linear de f1(x) + f3(x) = f2(x) e .

Passo 4

Como conseguimos expressar como uma combinação linear das outras duas funções, isso significa que o conjunto não atende à condição de independência linear. Ou seja, existe uma relação não trivial entre as funções do conjunto.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente (LD).

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