Decida se as derivadas seguintes de funções vetoriais \mathbf{r}_{1}(t) e \mathbf{r}_{2}(t) são escalares ou vetores.
\frac{d}{d t}\left(\mathbf{r}{1}(t) \times \mathbf{r}{2}(t)\right)

Passo 1

O enunciado pede: decidir se a derivada
\frac{d}{dt}\!\big(\mathbf{r}_1(t)\times\mathbf{r}_2(t)\big)
é um escalar ou um vetor. As informações dadas são que \mathbf{r}_1(t) e \mathbf{r}_2(t) são funções vetoriais (ou seja, cada uma tem componentes que dependem de t). Não há outros dados numéricos — apenas a operação \times entre vetores.

Passo 2

Lembrete rápido sobre o produto vetorial (cross product). Para vetores em \mathbb{R}^3,
\mathbf{a}\times\mathbf{b}
é um vetor (perpendicular a \mathbf{a} e \mathbf{b}). Em coordenadas, se \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z), então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\big(a_y b_z-a_z b_y,\; a_z b_x-a_x b_z,\; a_x b_y-a_y b_x\big).
Ou em forma de determinante simbólica:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] a_x & a_y & a_z\\[4pt] b_x & b_y & b_z \end{vmatrix},
mas o importante aqui é: o produto vetorial resulta em um vetor (não em um número).]

Passo 3

Escrever as funções vetoriais por componentes para ver o que acontece com a derivada. Seja
\mathbf{r}_1(t)=\big(x_1(t),\,y_1(t),\,z_1(t)\big),\qquad \mathbf{r}_2(t)=\big(x_2(t),\,y_2(t),\,z_2(t)\big).
Então
\mathbf{r}_1(t)\times\mathbf{r}_2(t)=\big(y_1 z_2 - z_1 y_2,\; z_1 x_2 - x_1 z_2,\; x_1 y_2 - y_1 x_2\big).
Cada componente acima é uma função escalar de t. Ao derivar componente a componente, obtemos outro triplo de funções — isto é, um vetor.

Passo 4

Aplicar a regra do produto (derivada de produto de funções escalares) a cada componente e ordenar os termos. Por exemplo, para a primeira componente:
\frac{d}{dt}\big(y_1 z_2 - z_1 y_2\big) = y_1' z_2 + y_1 z_2' - z_1' y_2 - z_1 y_2'.
Fazendo o mesmo para as outras componentes e reunindo os termos, podemos reconhecer os dois cruzamentos:
\frac{d}{dt}\!\big(\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2\big) =\mathbf{r}_1'(t)\times\mathbf{r}_2(t)+\mathbf{r}_1(t)\times\mathbf{r}_2'(t).
Esse é o análogo vetorial da regra do produto (produto de duas funções) e decorre da bilinearidade do produto vetorial e da derivação componente a componente.

Passo 5

Interpretação final e por que é vetor: a soma de dois produtos vetoriais \mathbf{r}_1'\times\mathbf{r}_2 e \mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2' é claramente um vetor (cada produto vetorial é um vetor). Logo a derivada pedida é um vetor.

Passo 6

Exemplo numérico rapidinho para fixar (sem cálculo longo): escolha \mathbf{r}_1(t)=(t,0,0) e \mathbf{r}_2(t)=(0,t,0). Então
\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2=(0,0,t^2),
logo
\frac{d}{dt}\!\big(\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2\big)=(0,0,2t).
Pela fórmula de produto:
\mathbf{r}_1'=(1,0,0),\quad \mathbf{r}_2'=(0,1,0),
\mathbf{r}_1'\times\mathbf{r}_2+( \mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2')=(1,0,0)\times(0,t,0)+(t,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,2t),
confere — tudo vetorial.

Resposta

É um vetor; \displaystyle \frac{d}{dt}\!\big(\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2\big)=\mathbf{r}_1'\times\mathbf{r}_2+\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2'.