Decida se as derivadas seguintes de funções vetoriais \mathbf{r}_{1}(t) e \mathbf{r}_{2}(t) são escalares ou vetores.
\frac{d}{d t}\left(\mathbf{r}{1}(t) \times \mathbf{r}{2}(t)\right)
é um escalar ou um vetor. As informações dadas são que \mathbf{r}_1(t) e \mathbf{r}_2(t) são funções vetoriais (ou seja, cada uma tem componentes que dependem de t). Não há outros dados numéricos — apenas a operação \times entre vetores.
Passo 2
Lembrete rápido sobre o produto vetorial (cross product). Para vetores em \mathbb{R}^3,
\mathbf{a}\times\mathbf{b}
é um vetor (perpendicular a \mathbf{a} e \mathbf{b}). Em coordenadas, se \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z), então
Esse é o análogo vetorial da regra do produto (produto de duas funções) e decorre da bilinearidade do produto vetorial e da derivação componente a componente.
Passo 5
Interpretação final e por que é vetor: a soma de dois produtos vetoriais \mathbf{r}_1'\times\mathbf{r}_2 e \mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2' é claramente um vetor (cada produto vetorial é um vetor). Logo a derivada pedida é um vetor.
Passo 6
Exemplo numérico rapidinho para fixar (sem cálculo longo): escolha \mathbf{r}_1(t)=(t,0,0) e \mathbf{r}_2(t)=(0,t,0). Então