Decida se os seguintes subconjuntos do R^3 abaixo formam uma base R^3.
(1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se o conjunto de vetores (1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) forma uma base do espaço R^3. Isso entra no conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se forem independentes, eles formam uma base!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:
1 & 1 & 2 1 & 2 & -1 1 & 3 & 1

Passo 3

Agora, para verificar se os vetores são linearmente independentes, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det = 1(2 cdot 1 - (-1) cdot 3) - 1(1 cdot 1 - (-1) cdot 1) + 2(1 cdot 3 - 2 cdot 1)

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeiro termo: 1(2 cdot 1 - (-1) cdot 3) = 1(2 + 3) = 1 cdot 5 = 5
  2. Segundo termo: -1(1 cdot 1 - (-1) cdot 1) = -1(1 + 1) = -1 cdot 2 = -2
  3. Terceiro termo: 2(1 cdot 3 - 2 cdot 1) = 2(3 - 2) = 2 cdot 1 = 2
Agora, somamos esses resultados:
5 - 2 + 2 = 5

Resposta

Como o determinante é 5, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto, o conjunto (1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) forma uma base do espaço R^3.

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