Decida se os seguintes subconjuntos do abaixo formam uma base . .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se o conjunto de vetores forma uma base do espaço . Isso entra no conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se forem independentes, eles formam uma base!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:
Passo 3
Agora, para verificar se os vetores são linearmente independentes, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Como o determinante é 5, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto, o conjunto (1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1)forma uma base do espaço R^3.