Decida se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o Teste da Série Absoluta e o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional.
Convergência Absoluta: Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é bom porque, se uma série converge absolutamente, ela também converge de forma condicional.
Convergência Condicional: Acontece quando a série converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
Então, nosso primeiro passo é verificar a convergência absoluta da série dada.
Passo 3
Vamos analisar a série dos valores absolutos:
Agora, para verificar se essa série converge, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil para séries com termos que envolvem fatorial ou exponenciais.
Passo 4
O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série:
L = limn to infty (n+1)^2 2^n+1(n+1)! times n!n^2 2^n = limn to infty (n+1)^2 times 2 times n! times 2^n(n+1) times n^2 times 2^n times n! = limn to infty 2(n+1)n^2
Simplificando:
L = limn to infty 2(n+1)n^2 = limn to infty 2n + 2n^2 = limn to infty ( 2n + 2n^2 ) = 0
Passo 5
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge.
Isso significa que a série original é absolutamente convergente.