DECOMPOR EM FATORES PRIMOS OS SEGUINTES NÚMEROS:
4116

Passo 1

O enunciado pede: decompor em fatores primos o número 4116.
Informação dada: o único dado é o próprio número 4116. Nosso objetivo final é escrever 4116 como produto de números primos, por exemplo na forma p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots.

Passo 2

O que é decomposição em fatores primos?
É escrever um inteiro maior que 1 como produto de números primos (números que só têm divisores 1 e ele mesmo). Sempre dá para fazer isso de modo único, salvo a ordem dos fatores (teorema fundamental da aritmética). Na prática usamos divisões sucessivas por primos pequenos: 2,3,5,7,11,\dots até chegar a 1.

Passo 3

Começamos pelos primos pequenos. Teste de divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 se for par (última casa igual a 0,2,4,6 ou 8). Como 4116 é par, dividimos por 2:
4116\div2=2058.
Logo, extraímos um fator 2.

Passo 4

Continuamos com 2058. Ele também é par, então dividimos novamente por 2:
2058\div2=1029.
Agora temos dois fatores 2: 4116=2\cdot2\cdot1029.

Passo 5

Agora fatoramos 1029. Teste de divisibilidade por 3: somamos os algarismos; se a soma for múltipla de 3, o número é divisível por 3. Soma dos algarismos de 1029 é 1+0+2+9=12, e 12 é múltiplo de 3. Então 1029 é divisível por 3:
1029\div3=343.
Agora temos 4116=2\cdot2\cdot3\cdot343.

Passo 6

Fatoramos 343. Podemos testar primos: 343 não é par e a soma dos algarismos 3+4+3=10 não é múltipla de 3, então não é divisível por 2 nem por 3. Tentar 5 (termina com 5 ou 0? não), então não é por 5. Testamos 7: sabemos que 7\cdot49=343. Assim,
343=7\cdot49,
e 49=7\cdot7. Portanto 343=7\cdot7\cdot7=7^3.

Passo 7

Juntando tudo: tínhamos 4116=2\cdot2\cdot3\cdot343 e 343=7^3. Logo
4116=2^2\cdot3\cdot7^3.
Vamos verificar multiplicando: 2^2\cdot3\cdot7^3=4\cdot3\cdot343=12\cdot343=4116. Está correto.

Resposta

4116=2^{2}\cdot3\cdot7^{3}