Decompor matrizes quadradas grandes pode às vezes tornar suas inversas mais fáceis de se calcular, particularmente se os blocos tiverem uma forma adequada. Nos Exercícios de 64 a 68, verifique, por multiplicação por blocos, que a inversa de uma matriz, decomposta como apresentado, resulta na matriz dada. (Assuma que todas as inversas existem, quando necessário.) \left[\begin{array}{ll}I & B \\\ C & I\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}(I-B C)^{-1} & -(I-B C)^{-1} B \\\\ -C(I-B C)^{-1} & I+C(I-B C)^{-1} B\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz
M=\begin{pmatrix}I & B\\[6pt]C & I\end{pmatrix}
e afirma que sua inversa é
N=\begin{pmatrix}(I-BC)^{-1} & -\,(I-BC)^{-1}B\\[6pt] -\,C\,(I-BC)^{-1} & I + C\,(I-BC)^{-1}B\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é inversão por blocos, usando multiplicação de matrizes em blocos e a hipótese de que (I-BC) é invertível.]
Passo 2
Vamos calcular o produto
P = M\,N =\begin{pmatrix}I & B\\[3pt]C & I\end{pmatrix} \begin{pmatrix}(I-BC)^{-1} & -\,(I-BC)^{-1}B\\[6pt] -\,C\,(I-BC)^{-1} & I + C\,(I-BC)^{-1}B\end{pmatrix}