Decompor matrizes quadradas grandes pode às vezes tornar suas inversas mais fáceis de se calcular, particularmente se os blocos tiverem uma forma adequada. Nos Exercícios de 64 a 68, verifique, por multiplicação por blocos, que a inversa de uma matriz, decomposta como apresentado, resulta na matriz dada. (Assuma que todas as inversas existem, quando necessário.)
\left[\begin{array}{ll}I & B \\\ C & I\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}(I-B C)^{-1} & -(I-B C)^{-1} B \\\\ -C(I-B C)^{-1} & I+C(I-B C)^{-1} B\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M=\begin{pmatrix}I & B\\[6pt]C & I\end{pmatrix}
e afirma que sua inversa é
N=\begin{pmatrix}(I-BC)^{-1} & -\,(I-BC)^{-1}B\\[6pt] -\,C\,(I-BC)^{-1} & I + C\,(I-BC)^{-1}B\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é inversão por blocos, usando multiplicação de matrizes em blocos e a hipótese de que (I-BC) é invertível.]

Passo 2

Vamos calcular o produto
P = M\,N =\begin{pmatrix}I & B\\[3pt]C & I\end{pmatrix} \begin{pmatrix}(I-BC)^{-1} & -\,(I-BC)^{-1}B\\[6pt] -\,C\,(I-BC)^{-1} & I + C\,(I-BC)^{-1}B\end{pmatrix}
em blocos, escrevendo
P=\begin{pmatrix}P_{11}&P_{12}\\[3pt]P_{21}&P_{22}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular P_{11}:
P_{11}=I\,(I-BC)^{-1}\;+\;B\bigl(-C\,(I-BC)^{-1}\bigr) =(I-BC)^{-1}\;-\;BC\,(I-BC)^{-1} =(I-BC)\,(I-BC)^{-1} =I.

Passo 4

Calcular P_{12}:
P_{12} =I\bigl(-\,(I-BC)^{-1}B\bigr)\;+\;B\bigl(I + C\,(I-BC)^{-1}B\bigr) =-\,(I-BC)^{-1}B \;+\;B\;+\;BC\,(I-BC)^{-1}B.
Como
B - (I-BC)^{-1}B + BC\,(I-BC)^{-1}B = B - (I-BC)\,(I-BC)^{-1}B = B - B =0,
segue P_{12}=0.

Passo 5

Calcular P_{21}:
P_{21} =C\,(I-BC)^{-1}\;+\;I\bigl(-\,C\,(I-BC)^{-1}\bigr) = C\,(I-BC)^{-1} - C\,(I-BC)^{-1} =0.

Passo 6

Calcular P_{22}:
P_{22} =C\bigl(-\,(I-BC)^{-1}B\bigr)\;+\;I\bigl(I + C\,(I-BC)^{-1}B\bigr) =-\,C\,(I-BC)^{-1}B \;+\;I\;+\;C\,(I-BC)^{-1}B =I.

Passo 7

Como
P=\begin{pmatrix}P_{11}&P_{12}\\[3pt]P_{21}&P_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}I&0\\[3pt]0&I\end{pmatrix},
seguimos que M\,N=I. Logo N é de fato a inversa de M.]

Resposta

Verificou-se por multiplicação em blocos que
\begin{pmatrix}I & B\\[3pt]C & I\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}(I-BC)^{-1} & -\,(I-BC)^{-1}B\\[6pt] -\,C\,(I-BC)^{-1} & I + C\,(I-BC)^{-1}B\end{pmatrix}.]

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