Decompor matrizes quadradas grandes pode às vezes tornar suas inversas mais fáceis de se calcular, particularmente se os blocos tiverem uma forma adequada. Nos Exercícios de 64 a 68, verifique, por multiplicação por blocos, que a inversa de uma matriz, decomposta como apresentado, resulta na matriz dada. (Assuma que todas as inversas existem, quando necessário.)
\left[\begin{array}{ll}A & B \\\ C & D\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{ll}P & Q \\\ R & S\end{array}\right], em que P=\left(A-B D^{-1} C\right)^{-1}, Q= -P B D^{-1}, R=-D^{-1} C P e S=D^{-1}+D^{-1} C P B D^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por multiplicação por blocos, que, para a matriz
M = \begin{pmatrix}A & B \\\ C & D\end{pmatrix},
sua inversa é
M^{-1} = \begin{pmatrix}P & Q \\\ R & S\end{pmatrix},
onde
P = (A - B D^{-1}C)^{-1},\quad Q = -P B D^{-1},\quad R = -D^{-1} C P,\quad S = D^{-1} + D^{-1} C P B D^{-1}.
Para isso basta mostrar que
M\,M^{-1} = I = \begin{pmatrix}I & 0 \\[6pt] 0 & I\end{pmatrix}.]

Passo 2

Calcule o bloco (1,1) de M\,M^{-1}:
A P + B R = A\,(A - B D^{-1}C)^{-1} \;+\; B\,\bigl(-D^{-1} C P\bigr).
Como P=(A - B D^{-1}C)^{-1}, temos
A\,P - B D^{-1}C\,P = (A - B D^{-1}C)\,P = I,
logo o bloco (1,1) é I.

Passo 3

Calcule o bloco (1,2) de M\,M^{-1}:
A Q + B S = A\bigl(-P B D^{-1}\bigr) + B\Bigl(D^{-1} + D^{-1}C P B D^{-1}\Bigr).
Distribuindo,
A Q = -A P B D^{-1},\quad B S = B D^{-1} + B D^{-1}C P B D^{-1}.
Mas A P = I + B D^{-1}C P, então
-A P B D^{-1} = -B D^{-1} - B D^{-1}C P B D^{-1},
e somando com B D^{-1} + B D^{-1}C P B D^{-1} 0. Assim o bloco (1,2) é 0.

Passo 4

Calcule o bloco (2,1) de M\,M^{-1}:
C P + D R = C P + D\bigl(-D^{-1} C P\bigr) = C P - C P = 0.

Passo 5

Calcule o bloco (2,2) de M\,M^{-1}:
C Q + D S = C\bigl(-P B D^{-1}\bigr) + D\Bigl(D^{-1} + D^{-1}C P B D^{-1}\Bigr).
Isso é
- C P B D^{-1} + I + C P B D^{-1} = I.

Resposta

\begin{pmatrix}A & B \\\ C & D\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} (A - B D^{-1}C)^{-1} & -\,(A - B D^{-1}C)^{-1} B D^{-1} \\[6pt] -\,D^{-1} C\,(A - B D^{-1}C)^{-1} & D^{-1} + D^{-1} C\,(A - B D^{-1}C)^{-1} B D^{-1} \end{pmatrix}.]

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