a) Deduza a equação
.
b) Quando a densidade cresce 1,50% de um ponto 1 até um ponto 2 , o que ocorre com a vazão volumétrica?
b) Quando a densidade cresce 1,50% de um ponto 1 até um ponto 2 , o que ocorre com a vazão volumétrica?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado tem duas partes:
a) Precisamos deduzir a equação .
b) Quando a densidade aumenta 1,50% de um ponto 1 para um ponto 2, o que acontece com a vazão volumétrica?
Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a Equação da Continuidade, que nos ajuda a entender como a massa e o volume de um fluido se comportam em diferentes pontos de um sistema.
a) Precisamos deduzir a equação
b) Quando a densidade aumenta 1,50% de um ponto 1 para um ponto 2, o que acontece com a vazão volumétrica?
Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a Equação da Continuidade, que nos ajuda a entender como a massa e o volume de um fluido se comportam em diferentes pontos de um sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Equação da Continuidade. Ela afirma que, para um fluido incompressível (ou com fluxo constante), a massa que entra em um ponto deve ser igual à massa que sai em outro ponto. Isso se traduz na equação:
Aqui:
-
é a densidade do fluido. -
é a área da seção transversal. -
é a velocidade do fluido.
Passo 3
Vamos deduzir essa equação. Imagine um fluido fluindo através de dois pontos diferentes em um tubo, ponto 1 e ponto 2. A massa que passa pelo ponto 1 em um tempo
deve ser igual à massa que passa pelo ponto 2 nesse mesmo tempo, para que não haja acúmulo de massa no tubo.
A massa que passa pelo ponto 1 é dada por:
E a massa que passa pelo ponto 2 é:
Como
, podemos igualar as duas expressões:
Simplificando o tempo
dos dois lados:
Pronto! Essa é a equação que precisamos.
Passo 4
Agora, para a parte b), vamos ver o que acontece com a vazão volumétrica quando a densidade aumenta 1,50% de um ponto 1 para um ponto 2.
Primeiro, a vazão volumétrica (
) é dada por:
Então, a vazão volumétrica no ponto 1 é
e no ponto 2 é
.
Usando a Equação da Continuidade que deduzimos:
Sabemos que a densidade aumenta 1,50%, então:
Substituindo na equação:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Isolando
:
Resposta
Quando a densidade aumenta 1,50% de um ponto 1 para um ponto 2, a vazão volumétrica diminuí aproximadamente 1,5%.