a) Deduza a equação rho1 A1 v1=rho2 A2 v2.
b) Quando a densidade cresce 1,50% de um ponto 1 até um ponto 2 , o que ocorre com a vazão volumétrica?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado tem duas partes:
a) Precisamos deduzir a equação rho1 A1 v1 = rho2 A2 v2.
b) Quando a densidade aumenta 1,50% de um ponto 1 para um ponto 2, o que acontece com a vazão volumétrica?
Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a Equação da Continuidade, que nos ajuda a entender como a massa e o volume de um fluido se comportam em diferentes pontos de um sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação da Continuidade. Ela afirma que, para um fluido incompressível (ou com fluxo constante), a massa que entra em um ponto deve ser igual à massa que sai em outro ponto. Isso se traduz na equação:
rho1 A1 v1 = rho2 A2 v2
Aqui:
  • rho é a densidade do fluido.
  • A é a área da seção transversal.
  • v é a velocidade do fluido.

Passo 3

Vamos deduzir essa equação. Imagine um fluido fluindo através de dois pontos diferentes em um tubo, ponto 1 e ponto 2. A massa que passa pelo ponto 1 em um tempo t deve ser igual à massa que passa pelo ponto 2 nesse mesmo tempo, para que não haja acúmulo de massa no tubo.
A massa que passa pelo ponto 1 é dada por:
Massa1 = rho1 times A1 times v1 times t
E a massa que passa pelo ponto 2 é:
Massa2 = rho2 times A2 times v2 times t
Como Massa1 = Massa2, podemos igualar as duas expressões:
rho1 A1 v1 t = rho2 A2 v2 t
Simplificando o tempo t dos dois lados:
rho1 A1 v1 = rho2 A2 v2
Pronto! Essa é a equação que precisamos.

Passo 4

Agora, para a parte b), vamos ver o que acontece com a vazão volumétrica quando a densidade aumenta 1,50% de um ponto 1 para um ponto 2.
Primeiro, a vazão volumétrica ( Q) é dada por:
Q = A times v
Então, a vazão volumétrica no ponto 1 é Q1 = A1 v1 e no ponto 2 é Q2 = A2 v2.
Usando a Equação da Continuidade que deduzimos:
rho1 Q1 = rho2 Q2
Sabemos que a densidade aumenta 1,50%, então:
rho2 = rho1 times 1,015
Substituindo na equação:
rho1 Q1 = rho1 times 1,015 times Q2
Podemos dividir ambos os lados por rho1:
Q1 = 1,015 times Q2
Isolando Q2:
Q2 = Q11,015 approx 0,985 times Q1

Resposta

Quando a densidade aumenta 1,50% de um ponto 1 para um ponto 2, a vazão volumétrica diminuí aproximadamente 1,5%.

Exercícios relacionados