Deduza o teorema de Stevin. Mostre que a relação entre as pressões de um ponto A e um ponto B de um fluido homogèneno depende da distância vertical entre os pontos.

Passo 1

O enunciado pede que eu deduza o teorema de Stevin e mostre que a relação entre as pressões em dois pontos A e B de um fluido homogêneo depende apenas da distância vertical entre esses pontos.\n
Informações dadas e condições assumidas:
\text{(i) o fluido é homogêneo, isto é, a densidade } \rho \text{ é constante;}éêéé
\text{(ii) o fluido está em repouso (equilíbrio estático); }áíá
\text{(iii) existe aceleração da gravidade } g \text{ atuando verticalmente para baixo;}çã
\text{(iv) temos dois pontos } A \text{ e } B \text{ do fluido com coordenadas verticais } z_A \text{ e } z_B.
Nada mais do enunciado é fornecido; a dedução deve partir dessas hipóteses. Não começo a resolver aqui — apenas organizei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Definições e escolha de sistema de referência (muito importante para não se perder na hora da prova):\n
Defino um eixo vertical z orientado para cima (ou seja, quanto maior z, mais para cima está o ponto). Assim, a gravidade atua na direção negativa do eixo z com intensidade g.\n
Defino a pressão num ponto como força normal por unidade de área exercida pelo fluido nesse ponto; a pressão em altura z chamo de p(z). A densidade do fluido é \rho (constante).\n
Vou estudar o equilíbrio mecânico de um pequeno elemento de fluido situado entre alturas z e z+\Delta z. Essa é uma técnica padrão e simples: escolhemos um elemento pequeno e aplicamos a condição de equilíbrio de forças.

Passo 3

Escolha do elemento e identificação das forças que atuam nele:\n
Considero um cilindro vertical muito fino de área de base A e altura \Delta z, com a face superior no nível z e a face inferior no nível z+\Delta z. As forças verticais que atuam sobre esse elemento são:\n
\text{(a) força para baixo na face superior: } F_{\text{top}} = p(z)\,A;ç
\text{(b) força para cima na face inferior: } F_{\text{bot}} = p(z+\Delta z)\,A;ç
\text{\text{(c)} peso do fluido contido no elemento (para baixo): } W = \rho\,A\,\Delta z\,g.
Obs.: não há forças de cisalhamento (porque o fluido está em repouso e as faces são planas e perpendiculares a z); as únicas forças verticais são pressões nas faces e o peso.

Passo 4

Equação do equilíbrio vertical (soma das forças = 0) e simplificação:\n
Tomando como positivo o sentido para cima, escrevo a soma das forças verticais igual a zero:
F_{\text{bot}} - F_{\text{top}} - W = 0.
Substituindo as expressões:
p(z+\Delta z)\,A - p(z)\,A - \rho\,A\,\Delta z\,g = 0.
Divido por A (assumindo A>0) e reorganizo:
p(z+\Delta z) - p(z) = \rho\,g\,\Delta z.
Agora passo ao limite \Delta z \to 0. O quociente \dfrac{p(z+\Delta z)-p(z)}{\Delta z} tende à derivada p'(z). Então:
\frac{p(z+\Delta z)-p(z)}{\Delta z} = \rho\,g \quad\Longrightarrow\quad \lim_{\Delta z\to0}\frac{p(z+\Delta z)-p(z)}{\Delta z} = \rho\,g.
Portanto obtemos a equação diferencial:
\frac{dp}{dz} = \rho\,g.

Passo 5

Interpretação do sinal e integração (atenção com a orientação do eixo):\n
A equação \dfrac{dp}{dz}=\rho g foi obtida porque escolhi z apontando para cima e considerei p(z+\Delta z)-p(z)=\rho g\Delta z. Isso implica que, se z aumenta (vamos para cima), a pressão varia conforme essa equação. Normalmente é mais comum escrever a relação de forma que fique claro que a pressão cresce quando descemos (ou seja, quando z diminui). Para evitar confusões, integro a equação entre duas alturas z_A e z_B correspondentes aos pontos A e B:\n
\int_{p(z_A)}^{p(z_B)} dp = \rho g \int_{z_A}^{z_B} dz.
Fazendo as integrais:
p(z_B) - p(z_A) = \rho g\,(z_B - z_A).
Reescrevendo para tornar explícito que o que importa é a diferença vertical entre os pontos, tenho a forma equivalente
p_B = p_A + \rho g\,(z_B - z_A).
Se eu quiser uma forma que mostre que a pressão aumenta ao descer (profundidade positiva para baixo), defino a profundidade h medida para baixo como h=-z. Substituindo, obtenho a forma usual:
p = p_{\text{superfície}} + \rho g h,í
onde h é a distância vertical medida para baixo a partir da superfície livre.

Passo 6

Significado físico, conclusão e exemplo numérico rápido (para fixar):\n
A expressão final mostra que a diferença de pressão entre dois pontos depende somente da diferença de altura vertical entre eles e da densidade do fluido e de g. Não depende da forma do recipiente nem de posições horizontais dos pontos — por isso em experimentos nota-se que numa mesma altura a pressão é a mesma em qualquer ponto do fluido (pressão hidrostática depende só da profundidade).\n
Exemplo numérico: para água com \rho=1000\\ \text{kg/m}^3 e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2, se B está 2\\ \text{m} abaixo de A (ou seja, z_B=z_A-2), então
p_B - p_A = \rho g (z_B - z_A) = 1000\cdot 9{,}81\cdot(-2) = -19620\\ \text{Pa},
o que significa que a pressão em B é 19620\\ \text{Pa} maior que em A. Isso exemplifica que o incremento de pressão depende só da distância vertical entre A e B.

Resposta

p_B - p_A = \rho g (z_B - z_A)\n
Equivalente: p_B = p_A + \rho g (z_B - z_A)\n
Forma usual com profundidade h (medida para baixo): p = p_{\text{superfície}} + \rho g hí