Deduza o teorema de Stevin. Mostre que a relação entre as pressões de um ponto
e um ponto
de um fluido homogèneno depende da distância vertical entre os pontos.
Passo 1
O enunciado pede que eu deduza o teorema de Stevin e mostre que a relação entre as pressões em dois pontos
e
de um fluido homogêneo depende apenas da distância vertical entre esses pontos.\n
Informações dadas e condições assumidas:
Informações dadas e condições assumidas:
Nada mais do enunciado é fornecido; a dedução deve partir dessas hipóteses. Não começo a resolver aqui — apenas organizei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Definições e escolha de sistema de referência (muito importante para não se perder na hora da prova):\n
Defino um eixo vertical orientado para cima (ou seja, quanto maior
, mais para cima está o ponto). Assim, a gravidade atua na direção negativa do eixo
com intensidade
.\n
Defino a pressão num ponto como força normal por unidade de área exercida pelo fluido nesse ponto; a pressão em altura chamo de
. A densidade do fluido é
(constante).\n
Vou estudar o equilíbrio mecânico de um pequeno elemento de fluido situado entre alturas e
. Essa é uma técnica padrão e simples: escolhemos um elemento pequeno e aplicamos a condição de equilíbrio de forças.
Defino um eixo vertical
Defino a pressão num ponto como força normal por unidade de área exercida pelo fluido nesse ponto; a pressão em altura
Vou estudar o equilíbrio mecânico de um pequeno elemento de fluido situado entre alturas
Passo 3
Escolha do elemento e identificação das forças que atuam nele:\n
Considero um cilindro vertical muito fino de área de base e altura
, com a face superior no nível
e a face inferior no nível
. As forças verticais que atuam sobre esse elemento são:\n
Considero um cilindro vertical muito fino de área de base
Obs.: não há forças de cisalhamento (porque o fluido está em repouso e as faces são planas e perpendiculares a
); as únicas forças verticais são pressões nas faces e o peso.
Passo 4
Equação do equilíbrio vertical (soma das forças = 0) e simplificação:\n
Tomando como positivo o sentido para cima, escrevo a soma das forças verticais igual a zero:
Tomando como positivo o sentido para cima, escrevo a soma das forças verticais igual a zero:
Substituindo as expressões:
Divido por
(assumindo
) e reorganizo:
Agora passo ao limite
. O quociente
tende à derivada
. Então:
Portanto obtemos a equação diferencial:
Passo 5
Interpretação do sinal e integração (atenção com a orientação do eixo):\n
A equação foi obtida porque escolhi
apontando para cima e considerei
. Isso implica que, se
aumenta (vamos para cima), a pressão varia conforme essa equação. Normalmente é mais comum escrever a relação de forma que fique claro que a pressão cresce quando descemos (ou seja, quando
diminui). Para evitar confusões, integro a equação entre duas alturas
e
correspondentes aos pontos
e
:\n
A equação
Fazendo as integrais:
Reescrevendo para tornar explícito que o que importa é a diferença vertical entre os pontos, tenho a forma equivalente
Se eu quiser uma forma que mostre que a pressão aumenta ao descer (profundidade positiva para baixo), defino a profundidade
medida para baixo como
. Substituindo, obtenho a forma usual:
onde
é a distância vertical medida para baixo a partir da superfície livre.
Passo 6
Significado físico, conclusão e exemplo numérico rápido (para fixar):\n
A expressão final mostra que a diferença de pressão entre dois pontos depende somente da diferença de altura vertical entre eles e da densidade do fluido e de . Não depende da forma do recipiente nem de posições horizontais dos pontos — por isso em experimentos nota-se que numa mesma altura a pressão é a mesma em qualquer ponto do fluido (pressão hidrostática depende só da profundidade).\n
Exemplo numérico: para água com e
, se
está
abaixo de
(ou seja,
), então
A expressão final mostra que a diferença de pressão entre dois pontos depende somente da diferença de altura vertical entre eles e da densidade do fluido e de
Exemplo numérico: para água com
o que significa que a pressão em
é
maior que em
. Isso exemplifica que o incremento de pressão depende só da distância vertical entre
e
.
Resposta
Equivalente:
Forma usual com profundidade