1. Defina:
b) número quântico azimutal

Passo 1

O enunciado pede claramente: “Defina: b) número quântico azimutal”.
Informação dada: é uma pergunta de definição isolada — preciso explicar o que é o número quântico azimutal e o que ele determina. Não foi fornecido nenhum outro dado numérico.

Passo 2

Começando pelo básico (passo-a-passo): em átomos que são tratados pela mecânica quântica, as soluções da equação de Schrödinger para um elétron separam-se naturalmente em parte radial e parte angular quando usamos coordenadas esféricas. A parte angular é descrita por funções angulares chamadas harmônicas esféricas Y_{\ell}^{m_\ell}(\theta,\varphi). O número quântico azimutal é justamente o índice \ell dessas harmônicas. Vou explicar isso devagar.

Passo 3

Definição matemática via operador do momento angular: existe um operador quantizado \hat{L}^2 que representa o quadrado do momento angular orbital. As harmônicas esféricas são autovetores desse operador e satisfazem
\hat{L}^2\,Y_{\ell}^{m_\ell} = \hbar^2\,\ell(\ell+1)\;Y_{\ell}^{m_\ell},
onde:
  • \hat{L}^2 é o operador do quadrado do momento angular orbital;
  • Y_{\ell}^{m_\ell}(\theta,\varphi) é a função angular (dependendo dos ângulos polares \theta e azimutal \varphi);
  • \hbar é a constante de Planck reduzida;
  • \ell é o número quântico azimutal (isso que estamos definindo);
  • m_\ell é o número quântico magnético (vou relacionar com \ell depois).
Aqui a coisa importante: \ell aparece na expressão do autovalor \hbar^2\ell(\ell+1), ou seja, \ell determina o valor permitido do quadrado do momento angular.

Passo 4

Valores permitidos de \ell: o número quântico azimutal \ell só pode assumir valores inteiros não-negativos e está acoplado ao número quântico principal n. Especificamente,
\ell \in \{0,1,2,\dots,n-1\},
onde n é o número quântico principal (um inteiro positivo). Ou seja, para cada nível n há vários valores possíveis de \ell que vão de 0 até n-1.

Passo 5

Interpretação física (intuitiva): \ell está diretamente ligado ao momento angular orbital do elétron.
  • O módulo do momento angular orbital tem valor permitido
|\mathbf{L}| = \hbar\sqrt{\ell(\ell+1)}.
Isso significa que \ell controla “quanto de momento angular” o elétron possui (em unidades de \hbar), mas atenção: por quantização não é simplesmente \hbar \ell, é \hbar\sqrt{\ell(\ell+1)}.

Passo 6

Relação com a forma das orbitais: o valor de \ell também determina a forma angular da densidade eletrônica (os “formatos” das orbitais). Para convenção química/física:
\ell=0 \rightarrow \text{s (esférica)},\qquad \ell=1 \rightarrow \text{p (lobada)},\qquad \ell=2 \rightarrow \text{d},\qquad \ell=3 \rightarrow \text{f},\\ \text{etc.}é
Portanto, \ell discrimina os tipos de orbital (s, p, d, f…) e quantas “lobulações” ou estrutura angular a função tem.

Passo 7

Nós também temos o número quântico magnético m_\ell que está relacionado a \ell. Para um dado \ell os valores permitidos são inteiros
m_\ell \in \{-\ell, -\ell+1, \dots, 0, \dots, +\ell\}.
Esse m_\ell determina a projeção do momento angular na direção z (autovalor de \hat{L}_z é \hbar m_\ell). Portanto, \ell estabelece o “tamanho” do momento angular e m_\ell as suas orientações discretas possíveis.

Passo 8

Outros pontos úteis e práticos que costumam cair em prova:
  • O número de estados angulares (degeneracia angular) para um dado \ell é 2\ell+1 (os diferentes m_\ell).
  • O número de nós angulares (linhas/planos onde a função angular é zero) é igual a \ell. Isso ajuda a visualizar: por exemplo \ell=0 não tem nós angulares (esférico), \ell=1 tem 1 nó angular (plano) que separa dois lobos, etc.
  • Em transições dipolares (luzes) a regra de seleção típica é \Delta\ell=\pm1 (ou seja, \ell muda em uma unidade).

Passo 9

Exemplos concretos para fixar (faça mentalmente na prova):
  • Se n=1 então \ell só pode ser 0 (apenas orbital 1s).
  • Se n=3 então \ell pode ser 0,1,2 (orbitais 3s,3p,3d). Para \ell=2 o módulo do momento angular é |\mathbf{L}|=\hbar\sqrt{2\cdot3}=\hbar\sqrt{6}.

Passo 10

Resumo final e curto (o que escrever na prova): o número quântico azimutal é o inteiro \ell que indexa as harmônicas esféricas, dá os autovalores de \hat{L}^2 segundo \hbar^2\ell(\ell+1), só pode assumir valores 0,1,\dots,n-1, determina o módulo do momento angular |\mathbf{L}|=\hbar\sqrt{\ell(\ell+1)} e a forma angular (s, p, d, f, …) da orbital.

Resposta

O número quântico azimutal é o inteiro \ell que caracteriza a parte angular da função de onda; seus valores são \ell=0,1,\dots,n-1, ele determina os autovalores do operador \hat{L}^2 pela relação \hat{L}^2=\hbar^2\ell(\ell+1), fixa o módulo do momento angular |\mathbf{L}|=\hbar\sqrt{\ell(\ell+1)} e define o tipo/forma angular da orbital (s, p, d, f, …).

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