Defina cada uma das propriedades gerais dos corpos.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos as propriedades gerais de um corpo. Em teoria de corpos (fields) trabalhamos com um conjunto F equipado com duas operações — adição e multiplicação — que satisfazem certos axiomas. A seguir vamos apresentar cada um desses axiomas.

Passo 2

Axioma de fechamento
Para quaisquer a,b\in F vale
a + b \in F
e
a \cdot b \in F.
Isto garante que somar ou multiplicar elementos de F nunca leva para fora de F.

Passo 3

Axioma de associatividade
Para quaisquer a,b,c\in F tem-se
(a + b) + c = a + (b + c)
e
(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).
Ou seja, a ordem de agrupamento não altera o resultado.

Passo 4

Axioma de comutatividade
Para quaisquer a,b\in F vale
a + b = b + a
e
a \cdot b = b \cdot a.
Isso significa que a ordem dos fatores ou parcelas também não altera o resultado.

Passo 5

Existência de elemento neutro
Há um elemento 0\in F tal que, para todo a\in F,
a + 0 = a,
e um elemento 1\in F, distinto de 0, tal que
a \cdot 1 = a.

Passo 6

Existência de inversos
Para cada a\in F existe um inverso aditivo -a\in F com
a + (-a) = 0.
Além disso, para cada a\in F com a \neq 0 existe um inverso multiplicativo a^{-1}\in F tal que
a \cdot a^{-1} = 1.

Passo 7

Axioma da distributividade
Para quaisquer a,b,c\in F vale
a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c
e, de forma análoga,
(b + c)\cdot a = b\cdot a + c\cdot a.

Passo 8

Distinção entre 0 e 1
Um campo exige que o elemento neutro da adição seja diferente do elemento neutro da multiplicação, ou seja, 0 \neq 1.

Resposta

As propriedades gerais de um corpo são:
– Fechamento sob adição e multiplicação.
– Associatividade da adição e da multiplicação.
– Comutatividade da adição e da multiplicação.
– Existência de elemento neutro aditivo 0 e multiplicativo 1\neq0.
– Existência de inverso aditivo para todo a e de inverso multiplicativo para todo a\neq0.
– Distributividade da multiplicação sobre a adição.

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