Defina cada uma das propriedades gerais dos corpos.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos as propriedades gerais de um corpo. Em teoria de corpos (fields) trabalhamos com um conjunto
equipado com duas operações — adição e multiplicação — que satisfazem certos axiomas. A seguir vamos apresentar cada um desses axiomas.
Passo 2
Axioma de fechamento
Para quaisquer vale
Para quaisquer
e
Isto garante que somar ou multiplicar elementos de
nunca leva para fora de
.
Passo 3
Axioma de associatividade
Para quaisquer tem-se
Para quaisquer
e
Ou seja, a ordem de agrupamento não altera o resultado.
Passo 4
Axioma de comutatividade
Para quaisquer vale
Para quaisquer
e
Isso significa que a ordem dos fatores ou parcelas também não altera o resultado.
Passo 5
Existência de elemento neutro
Há um elemento tal que, para todo
,
Há um elemento
e um elemento
, distinto de
, tal que
Passo 6
Existência de inversos
Para cada existe um inverso aditivo
com
Para cada
Além disso, para cada
com
existe um inverso multiplicativo
tal que
Passo 7
Axioma da distributividade
Para quaisquer vale
Para quaisquer
e, de forma análoga,
Passo 8
Distinção entre
e
Um campo exige que o elemento neutro da adição seja diferente do elemento neutro da multiplicação, ou seja,
Um campo exige que o elemento neutro da adição seja diferente do elemento neutro da multiplicação, ou seja,
Resposta
As propriedades gerais de um corpo são:
– Fechamento sob adição e multiplicação.
– Associatividade da adição e da multiplicação.
– Comutatividade da adição e da multiplicação.
– Existência de elemento neutro aditivo e multiplicativo
.
– Existência de inverso aditivo para todo e de inverso multiplicativo para todo
.
– Distributividade da multiplicação sobre a adição.
– Fechamento sob adição e multiplicação.
– Associatividade da adição e da multiplicação.
– Comutatividade da adição e da multiplicação.
– Existência de elemento neutro aditivo
– Existência de inverso aditivo para todo
– Distributividade da multiplicação sobre a adição.