O que são as propriedades de um corpo?
Passo 1
O enunciado pergunta quais são as propriedades (axiomas) que definem um corpo (ou campo) em álgebra abstrata. Para resolver, vamos revisar a definição de corpo e apresentar seus requisitos: fechamento, existência de elementos neutros e inversos, comutatividade, associatividade e distributividade.
Passo 2
Fechamento: todo corpo
deve satisfazer que, para quaisquer
, os resultados de
também pertencem a
. Isso garante que soma e produto não saiam do conjunto.
Passo 3
Axiomas da operação de adição em
:
- Associatividade: para quaisquer
,
- Comutatividade: para quaisquer
,
- Elemento neutro (zero): existe
tal que, para todo ,
- Inverso aditivo: para cada
existe com
Passo 4
Axiomas da operação de multiplicação em
:
- Associatividade: para quaisquer
,
- Comutatividade: para quaisquer
,
- Elemento neutro (um): existe
, , tal que, para todo ,
- Inverso multiplicativo: para cada
, , existe com
Passo 5
Distributividade: a multiplicação distribui-se sobre a adição, isto é, para quaisquer
,
Resposta
Um conjunto
com duas operações
e
é um corpo se, e somente se, satisfaz:
- Fechamento em
e . - Aditivamente: associatividade, comutatividade, elemento neutro
e inverso aditivo. - Multiplicativamente: associatividade, comutatividade, elemento neutro
e inverso multiplicativo para todo . - Distributividade de
sobre .