O que são as propriedades de um corpo?

Passo 1

O enunciado pergunta quais são as propriedades (axiomas) que definem um corpo (ou campo) em álgebra abstrata. Para resolver, vamos revisar a definição de corpo e apresentar seus requisitos: fechamento, existência de elementos neutros e inversos, comutatividade, associatividade e distributividade.

Passo 2

Fechamento: todo corpo F deve satisfazer que, para quaisquer a,b\in F, os resultados de
a + b \quad\text{e}\quad a \cdot b
também pertencem a F. Isso garante que soma e produto não saiam do conjunto.

Passo 3

Axiomas da operação de adição em F:
  1. Associatividade: para quaisquer a,b,c\in F,
(a + b) + c = a + (b + c).
  1. Comutatividade: para quaisquer a,b\in F,
a + b = b + a.
  1. Elemento neutro (zero): existe 0\in F tal que, para todo a\in F,
a + 0 = a.
  1. Inverso aditivo: para cada a\in F existe -a\in F com
a + (-a) = 0.

Passo 4

Axiomas da operação de multiplicação em F:
  1. Associatividade: para quaisquer a,b,c\in F,
(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).
  1. Comutatividade: para quaisquer a,b\in F,
a \cdot b = b \cdot a.
  1. Elemento neutro (um): existe 1\in F, 1\neq 0, tal que, para todo a\in F,
a \cdot 1 = a.
  1. Inverso multiplicativo: para cada a\in F, a\neq 0, existe a^{-1}\in F com
a \cdot a^{-1} = 1.

Passo 5

Distributividade: a multiplicação distribui-se sobre a adição, isto é, para quaisquer a,b,c\in F,
a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \quad\text{e}\quad (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a.

Resposta

Um conjunto F com duas operações + e \cdot é um corpo se, e somente se, satisfaz:
  • Fechamento em + e \cdot.
  • Aditivamente: associatividade, comutatividade, elemento neutro 0 e inverso aditivo.
  • Multiplicativamente: associatividade, comutatividade, elemento neutro 1\neq0 e inverso multiplicativo para todo a\neq0.
  • Distributividade de \cdot sobre +.

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