Defina a função de partição grande canônica e explique como ela é utilizada.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos a função de partição grande canônica (ou de grande-canônico), que é uma ferramenta da mecânica estatística para sistemas capazes de trocar partículas e energia com um reservatório. Para resolver, vamos usar conceitos de energia das microestados, temperatura T, potencial químico \mu e fator de Boltzmann \beta = 1/(k_{B}T).

Passo 2

A definição da função de partição grande canônica \Xi é dada pela soma ponderada de todos os microestados em todos os números de partículas N. Escrevendo E_{i,N} como a energia do i-ésimo microestado no nível N, temos
\Xi(T,V,\mu)\;=\;\sum_{N=0}^{\infty}\;\sum_{i}\exp\bigl[-\beta\,(E_{i,N}-\mu N)\bigr].
Aqui o volume V aparece indiretamente na contagem dos microestados, \beta = 1/(k_{B}T), e \mu é o potencial químico que controla a troca de partículas.

Passo 3

Uma forma equivalente e muitas vezes útil é escrever em termos da partição canônica Z_{N}(T,V) e da fugacidade z = e^{\beta\mu}:
\Xi(T,V,\mu)\;=\;\sum_{N=0}^{\infty}z^{N}\,Z_{N}(T,V),
onde
Z_{N}(T,V)=\sum_{i}\exp\bigl[-\beta\,E_{i,N}\bigr].

Passo 4

A grande-canônica serve para obter quantidades médias e potenciais termodinâmicos de forma direta. Por exemplo:
\langle N\rangle \;=\;z\,\frac{\partial\ln\Xi}{\partial z}\,, \qquad \langle E\rangle \;=\;-\,\frac{\partial\ln\Xi}{\partial\beta}\;+\;\mu\,\langle N\rangle.
O potencial termodinâmico associado é o potencial ômega
\Omega(T,V,\mu) = -k_{B}T\,\ln\Xi(T,V,\mu),
que se relaciona com a pressão via
P = -\,\frac{\Omega}{V}\,.

Resposta

A função de partição grande canônica é
\Xi(T,V,\mu)=\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{i}\exp\bigl[-\beta\,(E_{i,N}-\mu N)\bigr],
e ela é usada para calcular médias de número de partículas e energia, bem como o potencial ômega \Omega=-k_{B}T\ln\Xi, a partir do qual se obtêm pressões, densidades e outras grandezas termodinâmicas no regime de partículas e energia variáveis.

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