Defina homogêneo.
Passo 1
O que o enunciado pede: definir a palavra “homogêneo”.
Informação dada: somente o pedido “Defina homogêneo.” (nenhuma outra informação/contexto foi fornecida).
Informação dada: somente o pedido “Defina homogêneo.” (nenhuma outra informação/contexto foi fornecida).
Passo 2
Definição geral e ideia-intuitiva: a palavra “homogêneo” vem do grego (homo = mesmo, gênio/geno = tipo) e, de forma geral, significa “composto por partes do mesmo tipo” ou “que não varia quando aplicamos escala adequada”. Em matemática e ciências exatas essa ideia aparece como invariância por escala ou uniformidade das partes. A seguir vou explicar os usos mais comuns em matemática, mostrando a definição formal em cada caso e como reconhecer nos exercícios.
Passo 3
Homogêneo como função (função homogênea):
Definição formal: uma função é chamada de homogênea de grau
se, para todo escalar
e todo vetor
, vale
Definição formal: uma função
Aqui
é o vetor de variáveis (por exemplo
),
é um número real (às vezes exige-se
) e
é um número real chamado grau de homogeneidade. Essa condição expressa a ideia de "escalar as variáveis escala a saída por
".
Exemplo concreto e verificação: considere
. Verifico:
Logo
é homogênea de grau
.
Contra-exemplo:
. Verifico:
que não é igual a
para um único
válido para todos
. Portanto não é homogênea.
Dica prática na prova: aplique a substituição
(ou cada variável por
vezes ela) e veja se sai um factor
multiplicando a função original.
Passo 4
Homogêneo como polinômio (polinômio homogêneo):
Definição: um polinômio é homogêneo de grau se todos os monômios que aparecem têm soma dos expoentes igual a
. Em outras palavras, cada termo tem o mesmo grau total.
Definição: um polinômio é homogêneo de grau
Exemplo:
. Os monômios têm grau total
(pois
tem grau
e
tem
), então
é homogêneo de grau
.
Como testar rapidamente: verifique cada monômio; se algum tiver grau diferente, o polinômio não é homogêneo.
Passo 5
Homogêneo em sistemas lineares: sistema homogêneo é aquele com termo independente zero.
Definição: um sistema linear é chamado homogêneo se pode ser escrito como
Definição: um sistema linear é chamado homogêneo se pode ser escrito como
onde [A) é a matriz dos coeficientes,
é o vetor incógnita e
é o vetor nulo. Característica importante: o sistema homogêneo sempre tem a solução trivial
. Possui soluções não-triviais se e somente se o determinante (no caso de
quadrada) é zero ou, de forma geral, se
.
Exemplo prático:
. O sistema
é
As equações são dependentes; há infinitas soluções da forma (x_{1}=x_{2}=t]. Então existe solução não trivial.
Dica para prova: ao ver
no lado direito, imediatamente pense em espaço nulo (nullspace), soluções triviais vs. não-triviais, e uso de posto/ determinante.]
Passo 6
Homogêneo em equações diferenciais — dois sentidos comuns:
(a) Equação diferencial linear homogênea:
Definição: uma equação diferencial linear é dita homogênea quando o termo independente é zero. Por exemplo, a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Definição: uma equação diferencial linear é dita homogênea quando o termo independente é zero. Por exemplo, a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
é homogênea. A solução geral é combinação linear das soluções fundamentais obtidas da equação característica. Exemplo: para
a equação característica é
com raízes
. A solução geral é
(b) Equação diferencial de primeira ordem do tipo “homogênea” (não linear) — forma
:
Definição: quando o lado direito é função apenas da razão , diz-se que a equação é homogênea nesse sentido (porque a função
tem grau zero:
). Método padrão: faça a substituição
(ou
), então
e obtém-se uma equação separável em
e
.
Definição: quando o lado direito é função apenas da razão
Exemplo rápido: para
, note que o lado é função de
; use
, etc.
Passo 7
Como lembrar e identificar “homogêneo” na prova (resumão prático):
- Para funções/polinômios: teste de escala
ou verifique se todos os monômios têm o mesmo grau. - Para sistemas lineares: verifica-se se o termo independente é o vetor nulo (lado direito igual a
). - Para EDOs lineares: lado não-homogêneo é a presença de um termo independente; se for zero, é homogênea.
- Para EDOs tipo
: procura-se expressão em função de (grau zero).
Passo 8
Pequeno lembrete motivacional (porque estudar é chato, eu sei): quando você vir “homogêneo” pense em “mesma escala / tudo do mesmo grau / lado direito zero” — essa imagem ajuda a lembrar o procedimento certo rapidamente na prova.
Resposta
Homogêneo: algo cujas partes são do mesmo tipo ou que é invariante por escala. Em matemática, isso se manifesta por (i) função homogênea de grau
:
; (ii) polinômio homogêneo: todos os monômios têm o mesmo grau; (iii) sistema linear homogêneo:
(termo independente zero); (iv) equação diferencial linear homogênea: lado não-homogêneo igual a zero.