Defina os objetos abaixo e, em cada definição, identifique os conceitos usados que são previamente necessários; dentre estes conceitos, identifique os conceitos primitivos:
(d) Números primos;
(d) Números primos;
Passo 1
O enunciado pede que eu:
- Defina o conceito de “números primos”.
- Para cada definição dada, identifique quais conceitos aparecem nela que precisam ser conhecidos previamente.
- Dentre esses conceitos previamente necessários, marque quais são conceitos primitivos (isto é, aqueles que não são definidos aqui em termos de outros conceitos mais básicos).
Não há dados numéricos ou figura; a tarefa é conceitual.
Passo 2
Primeiro vou apresentar alguns conceitos que aparecem com frequência nas definições de “primo” e explicar cada um de forma simples. Isso evita surpresas depois quando eu usar a definição formal. Vou listar o conceito, dar uma definição curta e um exemplo. Mais adiante direi, para cada definição de primo, quais desses conceitos ela usa e quais são primitivos.
Conceitos úteis:
- O conjunto dos números naturais:
. Normalmente significa os inteiros não-negativos ou, em algumas convenções, os inteiros positivos . Exemplo: . - O conjunto dos inteiros:
. Exemplo: . - Igualdade: o símbolo
usado para dizer que duas expressões representam o mesmo número. Exemplo: . - Multiplicação e adição (operações em
e ): operações básicas. Exemplo: . - Elemento neutro multiplicativo: o número
tal que, para todo , . - Divisibilidade: para inteiros
dizemos " divide " e escrevemos se existe um inteiro tal que . Exemplo: porque . - Unidade (no anel
): um número invertível multiplicativamente. Em as unidades são e , porque e . - Divisor próprio: um divisor
de com e (quando for o caso) . - Número composto: (definição intuitiva) um inteiro
que tem um divisor próprio positivo além de e .
Cada um desses conceitos será usado nas definições de primo; em seguida eu explico quais são primitivos.
Passo 3
Definição clássica (em termos de
) — forma simples que frequentemente aparece em provas:
Explicando devagar:
- "Os únicos divisores positivos de
são e " significa: se e então ou .
Exemplo: paraos divisores positivos são e , logo é primo. Para os divisores positivos são , logo não é primo (é composto).
Agora, de acordo com o pedido, identifico os conceitos usados nessa definição e quais são primitivos:
- Conceitos usados:
-
(números naturais). - A desigualdade/condição
. - Divisibilidade
. - O número
. - Igualdade de números (por exemplo
ou ). - Noção de “positivo” (quando se fala “divisores positivos”).
-
- Entre esses, os conceitos que normalmente tratamos como primitivos (não definidos em termos de conceitos mais elementares dentro do desenvolvimento aritmético básico) são:
- O conjunto
(ou, equivalentemente, os axiomas de Peano que definem os naturais). - As operações básicas
e (pois divisibilidade é definida usando multiplicação). - O símbolo de igualdade
. - O número
(o elemento neutro da multiplicação), que aparece como objeto primário ligado aos axiomas. - A noção de ordem/positividade (quando se trabalha com naturais é usual ter a relação
como primitiva derivada dos axiomas).
- O conjunto
- Conceitos definidos a partir dos primitivos:
- Divisibilidade
é definido usando a multiplicação e a existência de um tal que . - “Divisor próprio” e “número composto” são definidores construídos a partir de divisibilidade e desigualdades.
- Divisibilidade
Observação didática rápida (como usar isto na prova): para mostrar que um número
é primo, basta provar que nenhum inteiro
com
divide
. Em prática, verifica-se divisores até
.
Passo 4
Definição algébrica (em termos de divisibilidade em
/ teoria de anéis) — útil quando a prova envolve propriedades de divisibilidade em inteiros:
Explicando devagar:
- “Nonzero” significa
. - “Não é unidade” em
significa . - A condição
é uma propriedade de primos que diz: se divide um produto, então divide pelo menos um dos fatores.
Exemplo:. Se então ou . Em dizemos que é primo; note que também satisfaz a mesma propriedade, sendo um “associado” de .
Agora os conceitos usados e quais são primitivos:
- Conceitos usados:
- O conjunto
(inteiros). - Multiplicação em
. - Unidade em
(no sentido de elemento invertível multiplicativamente). - Divisibilidade
(definida por existência de um com ). - Propriedade lógica de implicação
ao formular a condição ou .
- O conjunto
- Conceitos primitivos nessa abordagem:
- O conjunto
e as operações , e a igualdade. - O conceito de “unidade” depende de multiplicação e invetibilidade, mas a operação multiplicação e a existência do elemento
são primitivos. - A relação de divisibilidade é definida a partir de multiplicação e existência de certos inteiros; logo não é primitiva por si só, mas recai diretamente sobre primitives como
e .
- O conjunto
Importante: nesta linguagem algébrica aparece também o conceito de “irredutível”: um elemento
(não unidade, nonzero) é irredutível se, quando
, então uma das parcelas é unidade. Em
(e em anéis fatoriais) a noção de “primo” (a propriedade do divisor de produtos) coincide com “irredutível”. Vou explicar essa equivalência a seguir porque é útil conceitualmente.
Passo 5
Demonstração da equivalência (esquemática, didática) entre as duas definições quando se trabalha com inteiros positivos:
- Mostrar que se
, , e os únicos divisores positivos de são e , então satisfaz a propriedade ou . - Prova rápida: suponha
. Se então o máximo divisor comum . Um resultado clássico (cuja prova usa noções de e algoritmo de Euclides) diz que se e então . Logo a propriedade vale. (Em provas de graduação às vezes basta citar o lemmas: "se e então ".)
- Prova rápida: suponha
- Mostrar que se
satisfaz a propriedade divisora de produtos então os únicos divisores positivos de são e . - Prova rápida: seja
um divisor positivo de . Então . Escreve . Pela propriedade, como divide , se não é unidade (e ) então por argumentação vemos que deve ser ou (senão um dos fatores seria divisor próprio contradizendo a irredutibilidade). Mais formalmente, se então e são menores que e sua existência dá uma fatoração não-trivial de , contradizendo a hipótese de que é irreduzível. (Esse passo pode exigir uma pequena caixa de ferramentas: divisão euclidiana ou propriedades de .)
- Prova rápida: seja
- Conclusão: nas circunstâncias usuais (inteiros, ou inteiros positivos), as duas definições são equivalentes.
Didática prática: em provas elementares use a definição que for mais conveniente; para testar primalidade de um número natural positivo normalmente aplicamos a primeira definição: buscar divisores. Para teoremas sobre divisibilidade (como provar que se um primo divide um produto então divide um dos fatores) use a segunda forma como propriedade a ser aplicada.
Passo 6
Exemplos e distinções importantes (coisas que geralmente confundem alunos):
- O número
não é primo. Explicação: por convenção e por compatibilidade com teoremas (como a unicidade da fatoração), é considerado nem primo nem composto. Usando a definição: tem apenas o divisor positivo , mas a definição pede . - Números negativos: em
costuma-se dizer que é “associado” a . Em teoria dos inteiros, diz-se que e representam a mesma classe de primo até unidade (são os mesmos primos até multiplicação por unidade). Em muitas listas de primos consideramos apenas os primos positivos. - Exemplos concretos:
são primos; são compostos. Uma forma prática de testar primalidade de um inteiro manualmente é checar divisores integrais com .
Passo 7
Recapitulando pedagogicamente (como guardar isso para a prova):
- Memorização curta: “Primo = só divisores positivos 1 e ele” (definição direta em
). - Em demonstrações algébricas: “Primo = divide produto implica divide algum fator” (útil para argumentos de
, factorização, etc.). - Conceitos básicos a dominar antes de trabalhar com primos: ter clareza sobre
e , multiplicação, igualdade, divisibilidade, unidades e o porquê de não ser primo. - Em provas, ao usar a noção de “divisibilidade” lembre-se de citar a definição:
significa existência de tal que .
Resposta
Definição 1 (naturais):
Conceitos usados: , desigualdade
, divisibilidade
, o número
, igualdade.
Conceitos primitivos entre esses: (ou axiomas de Peano), as operações básicas (adição e multiplicação), igualdade
, a noção de ordem/positividade e o elemento neutro
.
Conceitos usados:
Conceitos primitivos entre esses:
Definição 2 (inteiros/aritmética algébrica):
Conceitos usados: , multiplicação em
, unidade em
, divisibilidade
.
Conceitos primitivos entre esses: e as operações
,
, igualdade
(a partir destes define-se unidade e divisibilidade).
Conceitos usados:
Conceitos primitivos entre esses: