Defina os objetos abaixo e, em cada definição, identifique os conceitos usados que são previamente necessários; dentre estes conceitos, identifique os conceitos primitivos:
(d) Números primos;

Passo 1

O enunciado pede que eu:
  • Defina o conceito de “números primos”.
  • Para cada definição dada, identifique quais conceitos aparecem nela que precisam ser conhecidos previamente.
  • Dentre esses conceitos previamente necessários, marque quais são conceitos primitivos (isto é, aqueles que não são definidos aqui em termos de outros conceitos mais básicos).
Não há dados numéricos ou figura; a tarefa é conceitual.

Passo 2

Primeiro vou apresentar alguns conceitos que aparecem com frequência nas definições de “primo” e explicar cada um de forma simples. Isso evita surpresas depois quando eu usar a definição formal. Vou listar o conceito, dar uma definição curta e um exemplo. Mais adiante direi, para cada definição de primo, quais desses conceitos ela usa e quais são primitivos.
Conceitos úteis:
  • O conjunto dos números naturais: \mathbb{N}. Normalmente significa os inteiros não-negativos 0,1,2,\dots ou, em algumas convenções, os inteiros positivos 1,2,3,\dots. Exemplo: 3\in\mathbb{N}.
  • O conjunto dos inteiros: \mathbb{Z}. Exemplo: -2,0,5\in\mathbb{Z}.
  • Igualdade: o símbolo (=) usado para dizer que duas expressões representam o mesmo número. Exemplo: 2+3=5.
  • Multiplicação e adição (operações em \mathbb{N} e \mathbb{Z}): operações básicas. Exemplo: 2\cdot3=6.
  • Elemento neutro multiplicativo: o número 1 tal que, para todo a, 1\cdot a=a.
  • Divisibilidade: para inteiros a,b dizemos " a divide b" e escrevemos a\mid b se existe um inteiro k tal que b=a\cdot k. Exemplo: 3\mid 12 porque 12=3\cdot4.
  • Unidade (no anel \mathbb{Z}): um número invertível multiplicativamente. Em \mathbb{Z} as unidades são 1 e -1, porque 1\cdot1=1 e (-1)\cdot(-1)=1.
  • Divisor próprio: um divisor d de n com d\neq 1 e (quando for o caso) d\neq n.
  • Número composto: (definição intuitiva) um inteiro n>1 que tem um divisor próprio positivo além de 1 e n.
Cada um desses conceitos será usado nas definições de primo; em seguida eu explico quais são primitivos.

Passo 3

Definição clássica (em termos de \mathbb{N}) — forma simples que frequentemente aparece em provas:
\text{Um número }p\in\mathbb{N},\\ p>1,\\ \text{é dito primo se os únicos divisores positivos de }p\text{ são }1\text{ e }p.úéúã
Explicando devagar:
  • "Os únicos divisores positivos de p são 1 e p" significa: se d\in\mathbb{N} e d\mid p então d=1 ou d=p.
    Exemplo: para p=5 os divisores positivos são 1 e 5, logo 5 é primo. Para n=6 os divisores positivos são 1,2,3,6, logo 6 não é primo (é composto).
Agora, de acordo com o pedido, identifico os conceitos usados nessa definição e quais são primitivos:
  • Conceitos usados:
    • \mathbb{N} (números naturais).
    • A desigualdade/condição p>1.
    • Divisibilidade d\mid p.
    • O número 1.
    • Igualdade de números (por exemplo d=1 ou d=p).
    • Noção de “positivo” (quando se fala “divisores positivos”).
  • Entre esses, os conceitos que normalmente tratamos como primitivos (não definidos em termos de conceitos mais elementares dentro do desenvolvimento aritmético básico) são:
    • O conjunto \mathbb{N} (ou, equivalentemente, os axiomas de Peano que definem os naturais).
    • As operações básicas + e \cdot (pois divisibilidade é definida usando multiplicação).
    • O símbolo de igualdade (=).
    • O número 1 (o elemento neutro da multiplicação), que aparece como objeto primário ligado aos axiomas.
    • A noção de ordem/positividade (quando se trabalha com naturais é usual ter a relação > como primitiva derivada dos axiomas).
  • Conceitos definidos a partir dos primitivos:
    • Divisibilidade a\mid b é definido usando a multiplicação e a existência de um k tal que b=a\cdot k.
    • “Divisor próprio” e “número composto” são definidores construídos a partir de divisibilidade e desigualdades.
Observação didática rápida (como usar isto na prova): para mostrar que um número n>1 é primo, basta provar que nenhum inteiro d com 1<d<n divide n. Em prática, verifica-se divisores até \sqrt{n}.

Passo 4

Definição algébrica (em termos de divisibilidade em \mathbb{Z} / teoria de anéis) — útil quando a prova envolve propriedades de divisibilidade em inteiros:
\text{Um inteiro }p\in\mathbb{Z}\text{ é dito primo (no sentido aritmético) se }p\text{ é nonzero, não é unidade e, sempre que }p\mid ab\text{ com }a,b\in\mathbb{Z},\text{ então }p\mid a\\ \text{ou}\\ p\mid b.éééãéã
Explicando devagar:
  • “Nonzero” significa p\neq 0.
  • “Não é unidade” em \mathbb{Z} significa p\notin\{1,-1\}.
  • A condição p\mid ab\Rightarrow (p\mid a\\ \text{ou}\\ p\mid b) é uma propriedade de primos que diz: se p divide um produto, então divide pelo menos um dos fatores.
    Exemplo: p=3. Se 3\mid (ab) então 3\mid a ou 3\mid b. Em \mathbb{Z} dizemos que 3 é primo; note que -3 também satisfaz a mesma propriedade, sendo um “associado” de 3.
Agora os conceitos usados e quais são primitivos:
  • Conceitos usados:
    • O conjunto \mathbb{Z} (inteiros).
    • Multiplicação em \mathbb{Z}.
    • Unidade em \mathbb{Z} (no sentido de elemento invertível multiplicativamente).
    • Divisibilidade a\mid b (definida por existência de um k com b=a\cdot k).
    • Propriedade lógica de implicação (\Rightarrow) ao formular a condição p\mid ab\Rightarrow p\mid a ou p\mid b.
  • Conceitos primitivos nessa abordagem:
    • O conjunto \mathbb{Z} e as operações +, \cdot e a igualdade.
    • O conceito de “unidade” depende de multiplicação e invetibilidade, mas a operação multiplicação e a existência do elemento 1 são primitivos.
    • A relação de divisibilidade é definida a partir de multiplicação e existência de certos inteiros; logo não é primitiva por si só, mas recai diretamente sobre primitives como \cdot e \mathbb{Z}.
Importante: nesta linguagem algébrica aparece também o conceito de “irredutível”: um elemento r (não unidade, nonzero) é irredutível se, quando r=ab, então uma das parcelas é unidade. Em \mathbb{Z} (e em anéis fatoriais) a noção de “primo” (a propriedade do divisor de produtos) coincide com “irredutível”. Vou explicar essa equivalência a seguir porque é útil conceitualmente.

Passo 5

Demonstração da equivalência (esquemática, didática) entre as duas definições quando se trabalha com inteiros positivos:
  • Mostrar que se p\in\mathbb{N}, p>1, e os únicos divisores positivos de p são 1 e p, então p satisfaz a propriedade p\mid ab\Rightarrow p\mid a ou p\mid b.
    • Prova rápida: suponha p\mid ab. Se p\nmid a então o máximo divisor comum \gcd(p,a)=1. Um resultado clássico (cuja prova usa noções de \gcd e algoritmo de Euclides) diz que se \gcd(p,a)=1 e p\mid ab então p\mid b. Logo a propriedade vale. (Em provas de graduação às vezes basta citar o lemmas: "se \gcd(p,a)=1 e p\mid ab então p\mid b".)
  • Mostrar que se p satisfaz a propriedade divisora de produtos então os únicos divisores positivos de p são 1 e p.
    • Prova rápida: seja d um divisor positivo de p. Então d\mid p. Escreve p= d\cdot q. Pela propriedade, como p divide p=dq, se p não é unidade (e p>1) então por argumentação vemos que d deve ser 1 ou p (senão um dos fatores seria divisor próprio contradizendo a irredutibilidade). Mais formalmente, se 1<d<p então d e q são menores que p e sua existência dá uma fatoração não-trivial de p, contradizendo a hipótese de que p é irreduzível. (Esse passo pode exigir uma pequena caixa de ferramentas: divisão euclidiana ou propriedades de \gcd.)
  • Conclusão: nas circunstâncias usuais (inteiros, ou inteiros positivos), as duas definições são equivalentes.
Didática prática: em provas elementares use a definição que for mais conveniente; para testar primalidade de um número natural positivo normalmente aplicamos a primeira definição: buscar divisores. Para teoremas sobre divisibilidade (como provar que se um primo divide um produto então divide um dos fatores) use a segunda forma como propriedade a ser aplicada.

Passo 6

Exemplos e distinções importantes (coisas que geralmente confundem alunos):
  • O número 1 não é primo. Explicação: por convenção e por compatibilidade com teoremas (como a unicidade da fatoração), 1 é considerado nem primo nem composto. Usando a definição: 1 tem apenas o divisor positivo 1, mas a definição pede p>1.
  • Números negativos: em \mathbb{Z} costuma-se dizer que -p é “associado” a p. Em teoria dos inteiros, diz-se que p e -p representam a mesma classe de primo até unidade (são os mesmos primos até multiplicação por unidade). Em muitas listas de primos consideramos apenas os primos positivos.
  • Exemplos concretos: 2,3,5,7,11 são primos; 4,6,8,9,10 são compostos. Uma forma prática de testar primalidade de um inteiro n>1 manualmente é checar divisores integrais d com 2\le d\le \lfloor\sqrt{n}\rfloor.

Passo 7

Recapitulando pedagogicamente (como guardar isso para a prova):
  • Memorização curta: “Primo = só divisores positivos 1 e ele” (definição direta em \mathbb{N}).
  • Em demonstrações algébricas: “Primo = divide produto implica divide algum fator” (útil para argumentos de \gcd, factorização, etc.).
  • Conceitos básicos a dominar antes de trabalhar com primos: ter clareza sobre \mathbb{N} e \mathbb{Z}, multiplicação, igualdade, divisibilidade, unidades e o porquê de 1 não ser primo.
  • Em provas, ao usar a noção de “divisibilidade” lembre-se de citar a definição: a\mid b significa existência de k tal que b=a\cdot k.

Resposta

Definição 1 (naturais): \displaystyle\text{Um número }p\in\mathbb{N},\\ p>1,\text{ é primo se os únicos divisores positivos de }p\text{ são }1\text{ e }p.úéúã
Conceitos usados: \mathbb{N}, desigualdade p>1, divisibilidade d\mid p, o número 1, igualdade.
Conceitos primitivos entre esses: \mathbb{N} (ou axiomas de Peano), as operações básicas (adição e multiplicação), igualdade =, a noção de ordem/positividade e o elemento neutro 1.
Definição 2 (inteiros/aritmética algébrica): \displaystyle\text{Um inteiro }p\in\mathbb{Z}\text{ é primo se }p\neq 0,\\ p\text{ não é unidade (isto é, }p\notin\{1,-1\}),\text{ e sempre que }p\mid ab\text{ com }a,b\in\mathbb{Z}\text{ então }p\mid a\\ \text{ou}\\ p\mid b.éãééã
Conceitos usados: \mathbb{Z}, multiplicação em \mathbb{Z}, unidade em \mathbb{Z}, divisibilidade a\mid b.
Conceitos primitivos entre esses: \mathbb{Z} e as operações +, \cdot, igualdade = (a partir destes define-se unidade e divisibilidade).