Defina o perfil de velocidade laminar entre placas paralelas, determine a equação
e calcule a velocidade máxima no centro do canal.
Passo 1
O que o problema pede e quais informações vamos usar.
- Pedido 1: definir o perfil de velocidade laminar entre placas paralelas.
- Pedido 2: determinar a equação
do perfil (velocidade na direção do escoamento em função da coordenada transversal ). - Pedido 3: calcular a velocidade máxima no centro do canal.
Informações e hipóteses que vamos assumir (condições padrão para esse problema):
- Escoamento unidirecional e estacionário, só há velocidade na direção
: , . - Fluido newtoniano com viscosidade dinâmica
constante. - Escoamento totalmente desenvolvido (não há variação de
ao longo de ): . - Placas paralelas e infinitas nas direções
e ; distância entre as placas é . Colocamos as placas em e . - Condições de contorno: condição de não deslizamento (no-slip):
e . - O fluxo é provocado por um gradiente de pressão constante
(que normalmente é negativo quando o escoamento é para frente).
A partir daqui vamos derivar a equação diferencial governante e encontrar
e a velocidade máxima no centro.
Passo 2
Obter a equação diferencial simplificada (redução da equação de Navier–Stokes).
Começamos da equação de Navier–Stokes na direção
para fluxo incompressível e newtoniano:
Pela hipótese de escoamento unidirecional e totalmente desenvolvido:
,
e
. Assim os termos convectivos e as derivadas em
desaparecem, sobrando
Rearranjando:
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com membro direito constante (pois
é assumido constante).
Passo 3
Integração da equação diferencial e aplicação das condições de contorno.
Integramos duas vezes a equação
Primeira integração:
onde
é constante de integração.
Segunda integração:
onde
é outra constante.
Agora aplicamos as condições de contorno
e
.
- Em
: ⇒ . - Em
: ⇒
Substituindo
e
de volta em
e dividindo por
, obtemos
Fatorando:
Essa é a forma geral do perfil. Observe a dependência quadrática em
: é um perfil parabólico.
Passo 4
Interpretação do sinal e escrita em termos de queda de pressão.
A expressão acima apresenta
. Para que o fluido se mova no sentido positivo de
tipicamente
(a pressão decresce no sentido do escoamento). Para deixar a fórmula com sinais intuitivos, podemos usar a queda de pressão
sobre um comprimento
, de modo que
Substituindo isso em
obtemos a forma usual positiva:
Essa expressão mostra explicitamente que
para
quando
.
Passo 5
Determinar a posição e o valor da velocidade máxima.
Para encontrar a posição de máxima velocidade, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Ou seja, o máximo está no centro do canal
— como era de esperar pela simetria.
Agora avaliamos
em
. Usando a forma com
:
Usando
(queda de pressão positiva), fica
Passo 6
Resumo físico rápido e dica prática para a prova.
- O perfil entre placas paralelas, escoamento laminar completamente desenvolvido e placas estacionárias, é parabólico: a velocidade é zero nas paredes (não-slip) e máxima no centro.
- Fórmulas práticas (úteis para lembrar na prova):
e
Dica: se o professor usar placas em
(canal centrado), a mesma solução aparece como
Força aí — com esse passo a passo você consegue reproduzir a derivação na prova sem sustos!