Defina o perfil de velocidade laminar entre placas paralelas, determine a equação u(y) e calcule a velocidade máxima no centro do canal.

Passo 1

O que o problema pede e quais informações vamos usar.
  • Pedido 1: definir o perfil de velocidade laminar entre placas paralelas.
  • Pedido 2: determinar a equação u(y) do perfil (velocidade na direção do escoamento em função da coordenada transversal y).
  • Pedido 3: calcular a velocidade máxima no centro do canal.
Informações e hipóteses que vamos assumir (condições padrão para esse problema):
  • Escoamento unidirecional e estacionário, só há velocidade na direção x: u=u(y), v=w=0.
  • Fluido newtoniano com viscosidade dinâmica \mu constante.
  • Escoamento totalmente desenvolvido (não há variação de u ao longo de x): \partial u/\partial x = 0.
  • Placas paralelas e infinitas nas direções x e z; distância entre as placas é H. Colocamos as placas em y=0 e y=H.
  • Condições de contorno: condição de não deslizamento (no-slip): u(0)=0 e u(H)=0.
  • O fluxo é provocado por um gradiente de pressão constante \dfrac{dp}{dx} (que normalmente é negativo quando o escoamento é para frente).
A partir daqui vamos derivar a equação diferencial governante e encontrar u(y) e a velocidade máxima no centro.

Passo 2

Obter a equação diferencial simplificada (redução da equação de Navier–Stokes).
Começamos da equação de Navier–Stokes na direção x para fluxo incompressível e newtoniano:
\rho\left(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right).
Pela hipótese de escoamento unidirecional e totalmente desenvolvido: u=u(y), v=0 e \partial u/\partial x=0. Assim os termos convectivos e as derivadas em x desaparecem, sobrando
0 = -\frac{dp}{dx} + \mu \frac{d^2 u}{d y^2}.
Rearranjando:
\mu \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{dp}{dx}.
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com membro direito constante (pois \dfrac{dp}{dx} é assumido constante).

Passo 3

Integração da equação diferencial e aplicação das condições de contorno.
Integramos duas vezes a equação
\mu \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{dp}{dx}.
Primeira integração:
\mu \frac{d u}{d y} = \frac{dp}{dx}\; y + C_1,
onde C_1 é constante de integração.
Segunda integração:
\mu u(y) = \frac{dp}{dx}\;\frac{y^2}{2} + C_1 y + C_2,
onde C_2 é outra constante.
Agora aplicamos as condições de contorno u(0)=0 e u(H)=0.
  • Em y=0: \mu u(0)=0 = \dfrac{dp}{dx}\cdot 0 + C_1\cdot 0 + C_2 C_2=0.
  • Em y=H: \mu u(H)=0 = \dfrac{dp}{dx}\dfrac{H^2}{2} + C_1 H + 0
C_1 = -\frac{dp}{dx}\;\frac{H}{2}.
Substituindo C_1 e C_2 de volta em u(y) e dividindo por \mu, obtemos
u(y) = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\;y^2 - \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\;H y.
Fatorando:
u(y) = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\;y(y-H).
Essa é a forma geral do perfil. Observe a dependência quadrática em y: é um perfil parabólico.

Passo 4

Interpretação do sinal e escrita em termos de queda de pressão.
A expressão acima apresenta \dfrac{dp}{dx}. Para que o fluido se mova no sentido positivo de x tipicamente \dfrac{dp}{dx}<0 (a pressão decresce no sentido do escoamento). Para deixar a fórmula com sinais intuitivos, podemos usar a queda de pressão \Delta p = p_{\text{entrada}}-p_{\text{saída}}>0í sobre um comprimento L, de modo que
\frac{dp}{dx} = -\frac{\Delta p}{L}.
Substituindo isso em u(y) obtemos a forma usual positiva:
u(y) = \frac{\Delta p}{2\mu L}\;y(H-y).
Essa expressão mostra explicitamente que u\ge 0 para 0\le y\le H quando \Delta p>0.

Passo 5

Determinar a posição e o valor da velocidade máxima.
Para encontrar a posição de máxima velocidade, derivamos u(y) em relação a y e igualamos a zero:
\frac{du}{dy} = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\;(2y-H) = 0 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{H}{2}.
Ou seja, o máximo está no centro do canal y=H/2 — como era de esperar pela simetria.
Agora avaliamos u em y=H/2. Usando a forma com \dfrac{dp}{dx}:
u_{\max} = u\!\left(\frac{H}{2}\right) = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\left(\frac{H}{2}\right)\!\left(\frac{H}{2}-H\right) = -\frac{1}{8\mu}\frac{dp}{dx}\;H^2.
Usando \dfrac{dp}{dx}=-\dfrac{\Delta p}{L} (queda de pressão positiva), fica
u_{\max} = \frac{\Delta p}{8\mu L}\;H^2.

Passo 6

Resumo físico rápido e dica prática para a prova.
  • O perfil entre placas paralelas, escoamento laminar completamente desenvolvido e placas estacionárias, é parabólico: a velocidade é zero nas paredes (não-slip) e máxima no centro.
  • Fórmulas práticas (úteis para lembrar na prova):
\boxed{\,u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\;y(y-H)\,} \qquad\text{ou}\qquad \boxed{\,u(y)=\frac{\Delta p}{2\mu L}\;y(H-y)\,}
e
\boxed{\,u_{\max} = -\frac{1}{8\mu}\frac{dp}{dx}\;H^2 = \frac{\Delta p}{8\mu L}\;H^2\,.}
Dica: se o professor usar placas em y=\pm h (canal centrado), a mesma solução aparece como
u(y) = -\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\;(h^2-y^2), \qquad u_{\max}=-\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\;h^2.
Força aí — com esse passo a passo você consegue reproduzir a derivação na prova sem sustos!

Resposta

u(y)=\dfrac{1}{2\mu}\dfrac{dp}{dx}\;y(y-H)
u_{\max}=-\dfrac{1}{8\mu}\dfrac{dp}{dx}\;H^{2}=\dfrac{\Delta p}{8\mu L}\;H^{2}

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