Defina (pesquise a definição formal) e exemplifique:
d) Erro limite

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre “erro limite”:
  • Uma definição formal (a definição precisa, como em livro ou artigo).
  • Um exemplo numérico que ilustre a definição.
Não há outros dados fornecidos; o objetivo é explicar o conceito e mostrar na prática como se obtém um erro limite.

Passo 2

Definição formal (forma básica). Seja \tilde{x} uma aproximação de um valor exato x. Diz-se que E é um erro limite (ou cota de erro absoluto) para a aproximação \tilde{x} se vale
|x-\tilde{x}|\le E.
Aqui |x-\tilde{x}| é o erro absoluto real e E é um número (positivo) que garante que o erro absoluto não ultrapassa E. Em palavras: o erro limite é uma garantia superior para o erro absoluto.

Passo 3

Variações e expressões relacionadas. É comum trabalhar também com:
  • erro absoluto real: |x-\tilde{x}|,
  • erro relativo real: \dfrac{|x-\tilde{x}|}{|x|} (quando x\neq0),
  • cota de erro relativa: um número \varepsilon tal que \dfrac{|x-\tilde{x}|}{|x|}\le\varepsilon.
Quando se diz simplesmente “erro limite \varepsilon”, muitas vezes quer-se dizer “erro relativo limitado por \varepsilon”; portanto é importante especificar se a cota é absoluta ou relativa.

Passo 4

Como se obtém um erro limite na prática (resumo de métodos usados em provas):
  • cálculo exato: se o valor exato x é conhecido, a cota pode ser E=|x-\tilde{x}| (cota exata).
  • desigualdades analíticas: obter uma expressão que domine |x-\tilde{x}| e estimar essa expressão por algo simples.
  • teorema do resto de Taylor (forma de Lagrange): se f é suficientemente diferenciável em torno de a, ao aproximar f(x) por um polinómio de grau n centrado em a, o resto satisfaz
R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
para algum \xi entre a e x. Assim, uma cota útil é
|R_{n+1}(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1},
onde M=\max_{t\in I}|f^{(n+1)}(t)| em um intervalo I que contém a e x.
  • critério da série alternante (estimativa de Leibniz): ao truncar uma série alternante absolutamente decrescente, o erro em módulo é no máximo o módulo do primeiro termo omitido.
  • séries geométricas truncadas: dá cotas simples e exatas (ver exemplo abaixo).

Passo 5

Exemplo concreto (série geométrica). Considere a soma infinita da série geométrica com razão r, |r|<1:
S=\sum_{k=0}^{\infty} r^k=\frac{1}{1-r}.
O somatório parcial até n é
S_n=\sum_{k=0}^{n} r^k=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.
O erro ao truncar é
E_n=|S-S_n|=\frac{r^{n+1}}{1-r}.
Portanto \dfrac{r^{n+1}}{1-r} é um erro limite absoluto para a aproximação S_n de S.

Passo 6

Exemplo numérico detalhado (mesma série, r=\tfrac{1}{2}, truncar em n=2). Aqui
S=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=2.
O parcial com n=2 é
S_2=1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=1,75.
A fórmula do erro dá
E_2=\frac{(\tfrac{1}{2})^{3}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{8}}{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{4}=0,25.
Verificação: |S-S_2|=|2-1,75|=0,25, portanto E_2 é de fato um erro limite exato neste caso. Em linguagem de prova: ao usar S_2 pode-se afirmar com segurança que o erro absoluto não ultrapassa \tfrac{1}{4}.

Passo 7

Dicas rápidas para prova (empáticas e práticas):
  • sempre diga se a cota é absoluta ou relativa;
  • ao usar Taylor, identifique um M simples para a derivada de ordem n+1 — é o passo que normalmente rende pontos;
  • se der série alternante, aplique diretamente a estimativa de Leibniz (cota = primeiro termo omitido);
  • na hora de pedir “determine n tal que o erro limite seja \le uma tolerância”, use a fórmula da cota e resolva a desigualdade para n.

Resposta

Definição: E é um erro limite absoluto para uma aproximação \tilde{x} do valor exato x se |x-\tilde{x}|\le E. Exemplo: para a série geométrica com razão r ( |r|<1) truncada em n tem-se a soma S=\dfrac{1}{1-r}, o parcial S_n=\dfrac{1-r^{n+1}}{1-r} e o erro limite
E_n=\frac{r^{n+1}}{1-r}.
Exemplo numérico: para r=\tfrac{1}{2} e n=2, S=2, S_2=1,75 e E_2=\tfrac{1}{4}=0,25 (logo |S-S_2|\le 0,25).

Exercícios relacionados