Defina (pesquise a definição formal) e exemplifique:
d) Erro limite
d) Erro limite
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre “erro limite”:
- Uma definição formal (a definição precisa, como em livro ou artigo).
- Um exemplo numérico que ilustre a definição.
Não há outros dados fornecidos; o objetivo é explicar o conceito e mostrar na prática como se obtém um erro limite.
Passo 2
Definição formal (forma básica). Seja
uma aproximação de um valor exato
. Diz-se que
é um erro limite (ou cota de erro absoluto) para a aproximação
se vale
Aqui
é o erro absoluto real e
é um número (positivo) que garante que o erro absoluto não ultrapassa
. Em palavras: o erro limite é uma garantia superior para o erro absoluto.
Passo 3
Variações e expressões relacionadas. É comum trabalhar também com:
- erro absoluto real:
, - erro relativo real:
(quando ), - cota de erro relativa: um número
tal que .
Quando se diz simplesmente “erro limite
”, muitas vezes quer-se dizer “erro relativo limitado por
”; portanto é importante especificar se a cota é absoluta ou relativa.
Passo 4
Como se obtém um erro limite na prática (resumo de métodos usados em provas):
- cálculo exato: se o valor exato
é conhecido, a cota pode ser (cota exata). - desigualdades analíticas: obter uma expressão que domine
e estimar essa expressão por algo simples. - teorema do resto de Taylor (forma de Lagrange): se
é suficientemente diferenciável em torno de , ao aproximar por um polinómio de grau centrado em , o resto satisfaz
para algum
entre
e
. Assim, uma cota útil é
onde
em um intervalo
que contém
e
.
- critério da série alternante (estimativa de Leibniz): ao truncar uma série alternante absolutamente decrescente, o erro em módulo é no máximo o módulo do primeiro termo omitido.
- séries geométricas truncadas: dá cotas simples e exatas (ver exemplo abaixo).
Passo 5
Exemplo concreto (série geométrica). Considere a soma infinita da série geométrica com razão
,
:
O somatório parcial até
é
O erro ao truncar é
Portanto
é um erro limite absoluto para a aproximação
de
.
Passo 6
Exemplo numérico detalhado (mesma série,
, truncar em
). Aqui
O parcial com
é
A fórmula do erro dá
Verificação:
, portanto
é de fato um erro limite exato neste caso. Em linguagem de prova: ao usar
pode-se afirmar com segurança que o erro absoluto não ultrapassa
.
Passo 7
Dicas rápidas para prova (empáticas e práticas):
- sempre diga se a cota é absoluta ou relativa;
- ao usar Taylor, identifique um
simples para a derivada de ordem — é o passo que normalmente rende pontos; - se der série alternante, aplique diretamente a estimativa de Leibniz (cota = primeiro termo omitido);
- na hora de pedir “determine
tal que o erro limite seja uma tolerância”, use a fórmula da cota e resolva a desigualdade para .
Resposta
Definição:
é um erro limite absoluto para uma aproximação
do valor exato
se
. Exemplo: para a série geométrica com razão
(
) truncada em
tem-se a soma
, o parcial
e o erro limite
Exemplo numérico: para
e
,
,
e
(logo
).