O denominador fatoriza em dois fatores lineares (s+4) e (s+10) e um quadrático irreduzível s^{2}+2s+10.
O objetivo é calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que será usado).
Quando temos uma função racional F(s)=\dfrac{P(s)}{Q(s)} com grau de P menor que grau de Q, o caminho clássico é fazer decomposição em frações parciais e depois aplicar tabelas/pares básicos de transformadas de Laplace.
Aqui o grau do numerador (1) é menor que o do denominador (4), então F(s) já é própria e podemos escrever a decomposição na forma
Da primeira equação C=2\].
- Da última equação \(40D = 560 \Rightarrow D=14.
Verificando as equações intermediárias com C=2 e D=14 confirma que são satisfeitas (checam-se e batem). Portanto C=2 e D=14.]
Usar pares de transformadas de Laplace conhecidos (lembrando que a transformada de Laplace padrão é \mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\}=\dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}} e \mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}=\dfrac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}).
Para \displaystyle \frac{2(s+1)}{(s+1)^{2}+3^{2}} a inversa é 2e^{-t}\cos(3t).
Para \displaystyle \frac{12}{(s+1)^{2}+3^{2}} note que \dfrac{12}{(s+1)^{2}+3^{2}} = 12\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{(s+1)^{2}+3^{2}}, então a inversa é 12\cdot\dfrac{1}{3}\,e^{-t}\sin(3t)=4e^{-t}\sin(3t).
Passo 8
Somando todas as contribuições obtidas, a transformada inversa é