Exerćcio 2:
Encontre f(t) se F(s)=\frac{180(s+1)}{(s+4)(s+10)\left(s^{2}+2 s+10\right)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f(t) (a transformada inversa de Laplace) sabendo que
F(s)=\frac{180(s+1)}{(s+4)(s+10)\left(s^{2}+2s+10\right)}.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é 180(s+1).
  • O denominador fatoriza em dois fatores lineares (s+4) e (s+10) e um quadrático irreduzível s^{2}+2s+10.
  • O objetivo é calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que será usado).
  • Quando temos uma função racional F(s)=\dfrac{P(s)}{Q(s)} com grau de P menor que grau de Q, o caminho clássico é fazer decomposição em frações parciais e depois aplicar tabelas/pares básicos de transformadas de Laplace.
  • Aqui o grau do numerador (1) é menor que o do denominador (4), então F(s) já é própria e podemos escrever a decomposição na forma
\frac{180(s+1)}{(s+4)(s+10)(s^{2}+2s+10)} = \frac{A}{s+4} + \frac{B}{s+10} + \frac{Cs+D}{s^{2}+2s+10},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
  • Observação rápida: o termo sobre o quadrático tem numerador linear Cs+D porque o quadrático é de grau 2.

Passo 3

Montar a identidade polinomial multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:
180(s+1)=A(s+10)(s^{2}+2s+10)+B(s+4)(s^{2}+2s+10)+(Cs+D)(s+4)(s+10).
Para achar A e B de maneira rápida, escolhemos valores de s que anulem fatores lineares:
  • Tomando s=-4:
180(-4+1)=A(-4+10)\big((-4)^2+2(-4)+10\big).
Calculando os termos: 180(-3)=-540, (-4+10)=6, (-4)^2+2(-4)+10=16-8+10=18. Portanto
-540 = A\cdot 6\cdot 18 = A\cdot 108 \quad\Rightarrow\quad A = -5.
  • Tomando s=-10:
180(-10+1)=B(-10+4)\big((-10)^2+2(-10)+10\big).
Calculando: 180(-9)=-1620, (-10+4)=-6, (-10)^2+2(-10)+10=100-20+10=90. Assim
-1620 = B\cdot (-6)\cdot 90 = B\cdot (-540) \quad\Rightarrow\quad B = 3.

Passo 4

Determinar [C) e D por comparação de coeficientes. Primeiro expandimos alguns polinômios auxiliares:
  • (s+10)(s^{2}+2s+10) = s^{3}+12s^{2}+30s+100.
  • (s+4)(s^{2}+2s+10) = s^{3}+6s^{2}+18s+40.
  • (s+4)(s+10) = s^{2}+14s+40.
Substituindo A=-5 e B=3 na identidade do Passo 3 e somando os termos conhecidos:
A(s+10)(s^{2}+2s+10)+B(s+4)(s^{2}+2s+10) = -5\big(s^{3}+12s^{2}+30s+100\big) + 3\big(s^{3}+6s^{2}+18s+40\big).
Calculando termo a termo:
-5(\cdots)+3(\cdots) = -2s^{3}-42s^{2}-96s-380.
Agora escrevemos a contribuição do último termo (Cs+D)(s+4)(s+10). Como (s+4)(s+10)=s^{2}+14s+40, tem-se
(Cs+D)(s^{2}+14s+40)= C s^{3} + (14C+D)s^{2} + (40C+14D)s + 40D.
Somando tudo, a expressão à direita torna-se
(-2+C)s^{3} + (-42+14C+D)s^{2} + (-96+40C+14D)s + (-380+40D).
Esta soma deve ser igual ao polinômio do lado esquerdo, que é 180(s+1)=0\cdot s^{3}+0\cdot s^{2}+180s+180.
Assim obtemos o sistema por igualdade de coeficientes:
\begin{cases} -2 + C = 0,\\[4pt] -42 + 14C + D = 0,\\[4pt] -96 + 40C + 14D = 180,\\[4pt] -380 + 40D = 180. \end{cases}
Resolvendo:
  • Da primeira equação C=2\]. - Da última equação \(40D = 560 \Rightarrow D=14.
    Verificando as equações intermediárias com C=2 e D=14 confirma que são satisfeitas (checam-se e batem). Portanto C=2 e D=14.]

Passo 5

Escrevendo a decomposição obtida:
\frac{180(s+1)}{(s+4)(s+10)(s^{2}+2s+10)} = \frac{-5}{s+4} + \frac{3}{s+10} + \frac{2s+14}{s^{2}+2s+10}.

Passo 6

Preparar para aplicar transformadas inversas: manipular o termo sobre o quadrático para reconhecer pares conhecidos.
  • Completar o quadrado no denominador:
s^{2}+2s+10 = (s+1)^{2}+9 = (s+1)^{2}+3^{2}.
  • Reescrever o numerador 2s+14 em função de (s+1):
2s+14 = 2(s+1)+12.
Assim
\frac{2s+14}{s^{2}+2s+10} = \frac{2(s+1)}{(s+1)^{2}+3^{2}} + \frac{12}{(s+1)^{2}+3^{2}}.

Passo 7

Usar pares de transformadas de Laplace conhecidos (lembrando que a transformada de Laplace padrão é \mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\}=\dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}} e \mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}=\dfrac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}).
Aplicando inversa termo a termo:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-5}{s+4}\right\} = -5e^{-4t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{s+10}\right\} = 3e^{-10t}.
  • Para \displaystyle \frac{2(s+1)}{(s+1)^{2}+3^{2}} a inversa é 2e^{-t}\cos(3t).
  • Para \displaystyle \frac{12}{(s+1)^{2}+3^{2}} note que \dfrac{12}{(s+1)^{2}+3^{2}} = 12\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{(s+1)^{2}+3^{2}}, então a inversa é 12\cdot\dfrac{1}{3}\,e^{-t}\sin(3t)=4e^{-t}\sin(3t).

Passo 8

Somando todas as contribuições obtidas, a transformada inversa é
f(t) = -5e^{-4t} + 3e^{-10t} + 2e^{-t}\cos(3t) + 4e^{-t}\sin(3t),
para t\ge 0. (Esta é a resposta final; cada termo vem da inversa do termo correspondente na decomposição.)

Resposta

f(t)=-5e^{-4t}+3e^{-10t}+2e^{-t}\cos(3t)+4e^{-t}\sin(3t)

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