Defina uma relação adimensional entre a tensão cisalhante considerando um escoamento de um fluido incompressível, de viscosidade mu e densidade rho em um tubo redondo. Utilize a base MLT.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente definir uma relação adimensional entre a tensão cisalhante em um escoamento de um fluido incompressível dentro de um tubo redondo. A gente vai trabalhar com dois parâmetros importantes desse fluido: a viscosidade ( mu) e a densidade ( rho). Para isso, vamos usar a base MLT, que representa as dimensões de Massa (M), Comprimento (L) e Tempo (T). Ou seja, vamos combinar essas grandezas para criar uma relação sem unidades que descreva a tensão cisalhante nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é tensão cisalhante. Em um fluido em escoamento, a tensão cisalhante ( tau) é a força por unidade de área que age paralelamente à superfície do fluido. Ela está relacionada à viscosidade do fluido e ao gradiente de velocidade.
Nossa missão é combinar tau, mu, rho e outras grandezas relevantes de forma que as unidades se cancelem, resultando em uma relação adimensional. Para isso, usaremos a Análise Dimensional, que nos ajuda a encontrar combinações de grandezas que não dependem das unidades usadas.

Passo 3

Vamos listar as dimensões de cada grandeza envolvida:
  • Tensão cisalhante ( tau): A unidade de tensão é força por área. Força tem dimensão MLT^-2 e área tem dimensão L^2. Então, tau tem dimensão tau = MLT^-2L^2 = ML^-1T^-2.
  • Viscosidade ( mu): A viscosidade tem dimensão de força tempo por área. Então, mu = MLT^-2 cdot TL^2 = M L^-1 T^-1.
  • Densidade ( rho): A densidade é massa por volume. Então, rho = ML^3 = M L^-3.
  • Comprimento característico ( L): No caso do tubo redondo, usamos o diâmetro ou o raio como referência, então L é a dimensão de comprimento.
  • Velocidade ( V): Embora não tenha sido mencionada diretamente, a velocidade é comum em escoamentos e tem dimensão L T^-1.

Passo 4

Agora, queremos combinar essas grandezas para formar uma relação adimensional. Uma maneira eficiente de fazer isso é assumindo que a tensão cisalhante pode ser expressa como combinação das outras grandezas:
tau = mu cdot (VL) cdot f(rho cdot V^2)
Onde f é uma função que precisa ser determinada. Mas para simplificar, vamos buscar uma relação direta.
Queremos que a combinação seja adimensional, então multiplicamos tau por uma combinação de mu, rho, V e L de forma que as unidades se cancelem. Vamos supor que a relação seja:
taurho V^2 = constante

Passo 5

Vamos verificar as dimensões dessa expressão para confirmar se realmente é adimensional:
  • tau: ML^-1T^-2
  • rho: ML^-3
  • V^2: (LT^-1)^2 = L^2T^-2
Então,
taurho V^2 = ML^-1T^-2ML^-3 cdot L^2T^-2 = ML^-1T^-2ML^-1T^-2 = 1
As unidades se cancelam, confirmando que a relação é adimensional.

Resposta

A relação adimensional entre a tensão cisalhante é dada por:
taurho V^2 = 1

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