Defina uma relação adimensional entre a tensão cisalhante considerando um escoamento de um fluido incompressível, de viscosidade
e densidade
em um tubo redondo. Utilize a base MLT.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente definir uma relação adimensional entre a tensão cisalhante em um escoamento de um fluido incompressível dentro de um tubo redondo. A gente vai trabalhar com dois parâmetros importantes desse fluido: a viscosidade (
) e a densidade (
). Para isso, vamos usar a base MLT, que representa as dimensões de Massa (M), Comprimento (L) e Tempo (T). Ou seja, vamos combinar essas grandezas para criar uma relação sem unidades que descreva a tensão cisalhante nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é tensão cisalhante. Em um fluido em escoamento, a tensão cisalhante (
) é a força por unidade de área que age paralelamente à superfície do fluido. Ela está relacionada à viscosidade do fluido e ao gradiente de velocidade.
Nossa missão é combinar
,
,
e outras grandezas relevantes de forma que as unidades se cancelem, resultando em uma relação adimensional. Para isso, usaremos a Análise Dimensional, que nos ajuda a encontrar combinações de grandezas que não dependem das unidades usadas.
Passo 3
Vamos listar as dimensões de cada grandeza envolvida:
-
Tensão cisalhante (
): A unidade de tensão é força por área. Força tem dimensão e área tem dimensão . Então, tem dimensão . -
Viscosidade (
): A viscosidade tem dimensão de força tempo por área. Então, . -
Densidade (
): A densidade é massa por volume. Então, . -
Comprimento característico (
): No caso do tubo redondo, usamos o diâmetro ou o raio como referência, então é a dimensão de comprimento. -
Velocidade (
): Embora não tenha sido mencionada diretamente, a velocidade é comum em escoamentos e tem dimensão .
Passo 4
Agora, queremos combinar essas grandezas para formar uma relação adimensional. Uma maneira eficiente de fazer isso é assumindo que a tensão cisalhante pode ser expressa como combinação das outras grandezas:
Onde
é uma função que precisa ser determinada. Mas para simplificar, vamos buscar uma relação direta.
Queremos que a combinação seja adimensional, então multiplicamos
por uma combinação de
,
,
e
de forma que as unidades se cancelem. Vamos supor que a relação seja:
Passo 5
Vamos verificar as dimensões dessa expressão para confirmar se realmente é adimensional:
-
: -
: -
:
Então,
As unidades se cancelam, confirmando que a relação é adimensional.
Resposta
A relação adimensional entre a tensão cisalhante é dada por: