Defina os seguintes termos adotados na análise de sistemas realimentados por meio do domínio da frequência:
  • Diagrama de Nichols.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir o termo “Diagrama de Nichols” usado na análise de sistemas realimentados em domínio da frequência.
Informações relevantes dadas/assumidas: nenhum dado numérico foi fornecido — trata-se de um pedido conceitual e prático (o que é, como se constrói, para que serve).

Passo 2

Definição operacional básica (sem formalismos ainda): o Diagrama de Nichols é um gráfico que representa a resposta em frequência do laço aberto de um sistema de controlo, traçando em um único plano a magnitude (em decibéis) versus a fase (em graus) de L(j\omega), onde L(j\omega) é a função de transferência em malha aberta avaliada em frequência. Ele mostra, portanto, para cada frequência \omega um ponto com coordenadas (\text{fase},\\ \text{ganho em dB}).

Passo 3

Como construir um Diagrama de Nichols passo a passo (prática que você pode fazer na prova):
  1. Escreva a função de transferência do laço aberto L(s) e substitua s=j\omega para obter L(j\omega).
  2. Para uma sequência de frequências \omega (tipicamente logaritmicamente espaçadas), calcule:
    • o módulo |L(j\omega)|,
    • o módulo em decibéis |L(j\omega)|_{\text{dB}} = 20\log_{10}\!\bigl(|L(j\omega)|\bigr),
    • a fase \varphi(\omega)=\arg\bigl(L(j\omega)\bigr) (em graus).
  3. Em um gráfico com eixo horizontal igual à fase \varphi (em graus) e eixo vertical igual ao ganho em dB, marque os pontos \bigl(\varphi(\omega),\\ |L(j\omega)|_{\text{dB}}\bigr) e ligue-os na ordem das frequências. Indique a direção crescente de \omega com uma seta.

Passo 4

Relação com o laço fechado e as curvas de referência (a parte que transforma o Nichols numa ferramenta prática):
  1. A função de transferência em malha fechada do caminho direto é T(j\omega)=\frac{L(j\omega)}{1+L(j\omega)}.
  2. Escrevendo L(j\omega)=|L|e^{j\varphi}, o módulo de T fica
|T|=\frac{|L|}{|1+L|}=\frac{|L|}{\sqrt{1+|L|^2+2|L|\cos\varphi}}.
  1. Essa expressão mostra que, dado um par (|L|,\varphi) (ou seja, um ponto no Nichols), é possível calcular diretamente o ganho do laço fechado |T|. Por isso no Diagrama de Nichols costuma-se sobrepor curvas de contorno de |T| (em dB) e/ou de sensibilidade |S|=\dfrac{1}{|1+L|}. Essas curvas permitem ler, sem refazer cálculos complexos, o desempenho em malha fechada correspondente a cada ponto do laço aberto.

Passo 5

Como ler margens e estabilidade no Diagrama de Nichols (procedimentos úteis na prova):
  1. Margem de fase (PM): localize o ponto onde |L(j\omega)|_{\text{dB}}=0\\ \text{dB} (crossover de ganho). A fase \phi_{\text{gc}} nesse ponto dá
\text{PM}=180^\circ+\phi_{\text{gc}}.
No Nichols isso aparece como a distância horizontal entre a fase do ponto de cruzamento e a linha de -180^\circ.
2. Margem de ganho (GM): localize o ponto onde \varphi(\omega)=-180^\circ. O ganho nesse ponto em dB, digamos G_{-180}, dá a margem de ganho em dB por
\text{GM (dB)} = -G_{-180}.
Isto é, quanto se pode multiplicar o ganho até levar esse ponto até 0\\ \text{dB}.
3. Estabilidade: o Nichols é equivalente em informação ao diagrama de Nyquist (apenas representado em coordenadas polar transformadas). Se no Nichols o percurso de (\varphi,|L|_{\text{dB}}) viola condições de margem aceitáveis (ex.: PM negativa), o laço fechado tende a ser instável ou pouco robusto.

Passo 6

Por que usar Nichols — vantagens práticas:
  • Junta magnitude e fase num único gráfico, facilitando o ajuste por “loop shaping” (modificar L para atingir objetivos de desempenho e robustez).
  • As curvas de contorno de |T| e |S| colocadas sobre o gráfico permitem ver diretamente o efeito de um determinado ganho/fase sobre a resposta em malha fechada (tanto amplitude quanto sensibilidade).
  • É muito usado em projetos clássicos de controlo (compensadores analógicos/digitais) e em ferramentas (por ex. comando nichols do MATLAB).
  • Complementa Bode e Nyquist: Bode mostra magnitude e fase separadamente vs \omega; Nichols mostra-os juntos e com contornos de desempenho.

Passo 7

Limitações e observações práticas rápidas:
  • O Nichols não substitui a compreensão do plano complexo (Nyquist) quando for necessário contar encirclements; mas, para projeto por forma de laço, é muito prático.
  • Exige cálculo da resposta em frequência em várias \omega; em prova, faça alguns pontos estratégicos (baixo, cruzamento, alto) e raciocine sobre a forma.
  • Atente-se ao sinal da fase (convenção negativa conforme \arg L). Sempre use graus e dB nas leituras.

Passo 8

Exemplo miniatura (pra firmar a ideia): suponha L(j\omega)=\dfrac{K}{j\omega+1}. Para \omega=0 tem-se |L|=K e \varphi=0^\circ. Para \omega=1 tem-se |L|=K/\sqrt{2} e \varphi=-45^\circ. Convertendo os módulos para dB e plotando (\varphi,\\ |L|_{\text{dB}}) para várias \omega obtém‑se a curva de Nichols do sistema; então sobrepõe‑se as curvas de contorno de |T| para avaliar o ganho fechado resultante.

Resposta

Diagrama de Nichols: gráfico que representa a resposta em frequência do laço aberto L(j\omega) traçando, para cada \omega, a fase \varphi(\omega)=\arg(L(j\omega)) no eixo horizontal e o ganho em decibéis |L(j\omega)|_{\text{dB}}=20\log_{10}\!\bigl(|L(j\omega)|\bigr) no eixo vertical; com contornos de |T|=\bigl|L/(1+L)\bigr| e/ou |S|=1/|1+L| sobrepostos, o diagrama permite avaliar estabilidade, margens de ganho/fase e desempenho em malha fechada e é amplamente usado para projeto por loop shaping.

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